Свойства и вывод уравнений сохранения для монодисперсных сред.

Рассмотрим сначала монодисперсную суспензию. В принятых предположениях стационарные уравнения сохранения импульса и массы суспензии в целом и ее дисперсной фазы запишутся в лабораторной системе координат rв следующем виде (1), (2):

(1)

Здесь введены средние плотность и ускорение суспензии:

(2)

А ипредставляют собой эффективный тензор средних напряжений и среднюю силу межфазового взаимодействия на единицу объёма суспензии, которые формально выражаются в виде:

(3)

Где - тензор средних напряжений, действующих на поверхностиодиночной частицы суспензии (начало конвективной системы координатxвыбрано в центре этой частицы), аe– тензор средних скоростей деформации в потоке суспензии. Уравнения сохранения массы и импульса непрерывной фазы представляют собой разности соответствующих уравнений в (1) для суспензии в целом и для ее дисперсной фазы.

Для определения тензора имеется специальная задача об обтекании пробной частицы двухфазовой дисперсной средой, свойства которой на удалении от поверхности частицы совпадают со свойствами суспензии, но не однородны в слое, примыкающем к этой поверхности. Для умеренно концентрированных суспензий существованием этого слоя можно вообще пренебречь, что соответствует пренебрежению эффектом непрекрываемости частиц при определении ансамбля их конфигураций (1),(2). Чтобы сформулировать указанную задачу, запишем уравнения движения (1) в конвективной системе координат:

(4)

Причем член с отражает появление инерционной силы в этой координатной системе и вычисляется для точки, связанной с центром пробной частицы. При записи (4) пренебрегли инерционными эффектами, связанными с относительным движением фаз.

Ввиду линейности уравнений (4) можно принять (1),(2)

,. (5)

Здесь и() – некоторые неизвестные коэффициенты, которые определяются апостериори из условия согласованности теории, а именно из условия совпадения выражений (5) с соотношениями, следующими из (3) после решения задачи о пробной частице и вычисления интегралов в (3) на основе этого решения. Подчеркнем, что касательные напряжения в суспензии рассматриваются здесь в обычном и для механики однородных жидких сред приближении, когда учитываются только вклады в эти напряжения, пропорциональные первым степеням производных первого порядка от компонент скорости по координатам [4]. Поэтому условие совпадения напряжений из (3) и (5) понимается лишь с точностью до членов именно такого типа, а условие совпадения выражений для силы – с точностью до членов, линейных по производным второго порядка (действительно, из уравнений (4) ясно, что одинаковы порядки компонент векторовfи).

Из (4), (5) и граничных условий прилипания на поверхности пробной частицы имеем следующую задачу об её обтекании:

(6),,.

На бесконечном удалении от частицы возмущенные скорость и давлениенепрерывной фазы должны переходить в соответствующие невозмущенные величиныи(«бесконечность» понимается здесь в смысле метода сращиваемых асимптотических разложений). Решение задачи (6) легко выразить при произвольныхи, удовлетворяющих уравнениям (4), в виде рядов по базисным функциям, построенным на сферических гармониках (см., например, (5,6)); здесь используем решения в форме, полученной в работе (7) где были вычислены так же некоторые важные интегралы по поверхности пробной частицы.

Используя результаты (7) и определяя в соответствии с соотношением дляв (5), для величины в (3) имеем:

, (7)

причем последний член при определении должен быть отброшен, чтобы не допустить превышения точности (см. замечание выше). Аналогично из (3) после интегрирования (7) имеем:

(8)

что приводит (после сравнения с 5) к равенствам:

(9)

Далее, из уравнения сохранения импульса дисперсной фазы в (4) с учетом выражения для силы в (8) и (9) получаем

(10)

откуда с точностью до высших производных скорости имеем

(11)

(порядок членов, возникающих при дифференцировании (10), легко оценить, используя уравнения (4)).

Учитывая (7) и (11) и сравнивая выражения для в (3) и (5), получаем формулу для эффективной вязкости суспензии

(12)

Как и следовало ожидать, эта величина совпадает с определенной на основании односкоростной модели.

Соотношения (5), (9) и (12) замыкают систему уравнений (1) или (4) для макроскопически однородных суспензий одинаковых мелких сфер. В соответствии с (11) тензор скоростей деформации суспензии может быть отожествлён с таковым для непрерывной или дисперсной фаз (так что ив (5) можно заменить наи), относительная скоростьв конвективной системе координат совпадает, очевидно, со скоростьюв лабораторной системе, а пространственные производные скоростей в обеих координатных системах одни и те же.

Сравнение формулы (12) с экспериментальными данными проиллюстрировано на рис.1 Опыты были выбраны для сравнения потому, что они обычно используются при проверке большинства предлагаемых эмперических и других формул, опыты – ввиду очень чистых условий, в которых они производились. При этом на рис.1 показаны лишь результаты экспериментов для суспензии частиц полиметилметакрилата в водных растворах глицерина, полученные на ротационном вискозиметре. В этих эксперимента гарантировались как устойчивость суспензии (агрегаты частиц не образовывались), так и отсутствие структурообразования (характерного, например, для течений в капиллярном вискозиметре). Видно, что теория, развитая для умеренно концентрированных суспензий, приводит к вполне удовлетворительным результатам вплоть до объемной концентрации частиц, равной 20-25%. На рис.1 приведены также кривые, соответствующие известной формуле Эйнштейна.