Спектральные свойства матриц-операторов

При действии линейного оператора вектор-прообразхпереходит в вектор-образу:

Иногда между этими двумя векторами наблюдается пропорциональность:

(y=x) и уравнение преобразования принимает особенно простой вид:

Другими словами, некоторые векторы при действии на них оператора просто умножаются на определенное число, или, говоря геометрическим языком, изменяют свою длину, в точности сохраняя свое исходное направление (ориентацию). Такие особые векторы называются собственными векторамиданного оператора. Каждый оператор имеет индивидуальный, характерный только для него, набор собственных векторов, причем их число строго определено — оно равно размерности матрицы (числу строк или столбцов). Число, на которое умножается собственный вектор при действии оператора, называетсясобственным значениемили собственным числомоператора. Каждому собственному вектору соответствует свое собственное значение. Иногда несколько собственных чисел являются одинаковыми (вырожденными). Полный набор собственных значений оператора называется егоспектром.

Подчеркнем одно важное обстоятельство. Если некоторый вектор аявляется собственным для оператораА и ему соответствует собственное число, то любой вектор, пропорциональный данному (т.е.k • a, гдеk— любое число), также является собственным и ему соответствует то же самое собственное число. Другими словами, каждый собственный вектор существует в бесконечном числе экземпляров, отличающихся друг от друга длиной, но совпадающих по направлению. Можно сказать, что, говоря о собственном векторе, мы всегда подразумеваем под этим некоторыйлуч(или одномерное подпространство, ось), характеризуемый направлением, но не имеющий какой-либо определенной длины. При действии оператора на этот луч, он никак не изменяется (преобразуется сам в себя). Поэтому часто употребляют такие термины какинвариантное направлениеилиинвариантное подпространство. В качестве представителя такого собственного луча (инвариантного подпространства) часто используют нормированный вектор этого луча. В этом случае понятие собственного вектора становится вполне определенным не только в отношении направления, но и в отношении длины.

Собственные векторы и собственные значения операторов имеют чрезвычайно широкое применение в физике и химии. Так, например, квантовомеханические волновые функции,с помощью которых описываются стационарные состояния атомов и молекул, являются собственными векторами оператора Гамильтона, а энергии этих состояний — собственными числами того же оператора. Можно сказать, что решение большей части квантовомеханических задач сводится к нахождению собственных векторов и собственных чисел некоторых линейных операторов.

Поэтому обратимся к рассмотрению методов решения этой задачи. Стандартная процедура нахождения собственных векторов и соответствующих им собственных значений основана на уравнении:

Аа = а

где а— собственный вектор оператораА, а— соответствующее ему собственное значение. Его называют уравнением на собственные значения. Оно часто встречается в квантовой механике; например, общеизвестное уравнение ШредингераН= Еявляется его частным случаем — уравнением на собственные значения для оператора Гамильтона.

Выберем некоторый базис и запишем уравнение в координатном представлении. Вектор азапишется в виде столбца чисел-координат (a_i), а операторА— в виде квадратной матрицы, состоящей из матричных элементов (А_ij):

Раскроем эту матрично-векторную запись, соблюдая известные правила умножения матрицы на вектор-столбец, и получим обычную систему линейных уравнений:

A₁₁ • а₁ + A₁₂ • а₂ + . . . + A_1n • а_n =  • a₁

A₂₁ • а₁ + A₂₂ • а₂ + . . . + A_2n • а_n =  • a₂

. . . . . . . . . . . . . .

A_n1 • а₁ + A_n2 • а₂ + . . . + A_nn • а_n =  • a_n

Приведя подобные члены, получим более простую запись:

(A₁₁ – ) • а₁ + A₁₂ • а₂ + . . . + A_1n • а_n = 0

A₂₁ • а₁ + (A₂₂ – ) • а₂ + . . . + A_2n • а_n = 0

. . . . . . . . . . . . . .

A_n1 • а₁ + A_n2 • а₂ + . . . + (A_nn – ) • а_n = 0

Легко видеть, что получилась однородная (все правые части равны 0) система линейных уравнений. Однородные системы отличаются одной существенной особенностью: они совместны (имеют решение) только тогда, когда определитель системы равен нулю. В этом случае система имеет бесконечно много решений, пропорциональных друг другу. Если определитель системы не равен нулю, то решений нет совсем.

Как известно, определитель системы уравнений состоит из коэффициентов при неизвестных, и в данном случае он будет иметь вид:

Видно, что матрица этого определителя отличается от матрицы оператора только тем, что во все диагональные элементы внесена одна и та же поправка в виде дополнительного слагаемого (– ).

Раскроем по известным правилам определитель и приведем подобные члены. Тогда в результате получим алгебраическое уравнение n-й степени, относительно неизвестного:

С_n • ⁿ + С_n–1 • ^n–1 + С_n–2 • ^n–2 + . . . + С₁ •  + C_o = 0

Это уравнение называется характеристическим уравнением оператора(матрицы). Всякое уравнениеn-й степени имеетnкорней (не обязательно различных). Поэтому, решив характеристическое уравнение, найдемnего корней, которые и являются собственными числами оператора. Другими словами, спектр оператора состоит из корней его характеристического уравнения.

Подставим первое собственное значение в систему.

(A₁₁ – ₁) • а₁ + A₁₂ • а₂ + . . . + A_1n • а_n = 0

A₂₁ • а₁ + (A₂₂ – ₁) • а₂ + . . . + A_2n • а_n = 0

. . . . . . . . . . . . . .

A_n1 • а₁ + A_n2 • а₂ + . . . + (A_nn – ₁) • а_n = 0

Теперь система заведомо совместна и может быть легко решена. В качестве решения получим набор чисел {а₁,а₂, . . . ,а_n}₁ , которые и представляют собой координаты первого собственного вектора (по отношению к выбранному нами базису). Подставляя в систему по очереди все собственные значения, найдем и остальные собственные векторы:

Рассмотрим для иллюстрации численный пример, когда матрица имеет следующий вид:

Первый этап решения — составление характеристического уравнения. Запишем определитель и раскроем его по известным правилам:

Det = (3 –) • (0 –) • (3 –) + 2• 2• 4 + 4• 2• 2 –

– 4 • (0 –)• 4 – 2• 2• (3 –) – (3 –)• 2• 2 =

= – 9+ 6²–³+ 16 + 16 +16–12 + 4–12 + 4=

= – ³+ 6²+ 15 + 8 = 0.

Решив это уравнение найдем три корня: ₁= 8 ;₂= –1 ;₃= –1. Эти числа и являются собственными значениями нашего оператора, т.е. составляют его спектр. Заметим, что здесь мы имеем случай дважды вырожденного корня.

Перейдем к определению собственных векторов, неизвестные координаты которых обозначим как x,y,z. Запишем систему уравнений в общем виде:

(3 –)х+ 2y+ 4z= 0

2 x + (0 – ) y + 2 z = 0

4 x + 2 y + (3 – ) z = 0

Подставим в эту систему первое собственное значение ₁= 8.

– 5х+ 2y+ 4 z = 0

2 x – 8 y + 2 z = 0

4 x + 2 y – 5 z = 0

Вычитая третье уравнение из первого, получим: –9x + 9z =0 илиx=z. Подставим этот результат во второе уравнение и получим: 4х– 8у= 0 илиу=х/2. Теперь мы можем выразить все три координаты вектора через одну, например, черезх:х=х,у=х/2,z=x. Следовательно, решение можно записать в виде вектор-столбца:

От общего множителя (х/2) можно совсем отказаться (так как все векторы, пропорциональные друг другу, являются представителями одного и того же собственного луча) и ограничиться тремя числами в векторных скобках.

Перейдем к вырожденному собственному значению = –1. С этим значением система приобретет вид:

4х+ 2y+ 4z= 0

2 x + 1 y + 2 z = 0

4 x + 2 y + 4 z = 0

Видно, что все три уравнения одинаковы и задают только одно соотношение между тремя неизвестными. Поэтому мы может произвольно выбрать два из этих неизвестных, а третье уже выразить через эти два.

Используя геометрическую аналогию, мы можем сказать, что уравнение вида 2x+ 1y+ 2z= 0 определяет некоторую плоскость (двумерное подпространство) в трехмерном пространстве. Любой вектор, лежащий на этой плоскости является решением нашей системы и, следовательно, будет собственным для нашего оператора. Таким образом, в случае вырожденных собственных значений мы получаем уже не одномерное собственное подпространство (луч), а собственное подпространство, размерность которого равна степени вырождения собственного значения. Очевидно, что перечислять все векторы этого собственного двумерного подпространства нет необходимости — достаточно выбрать среди них два любые вектора и принять их за базис. Тогда все собственные векторы, соответствующие вырожденному собственному значению, могут быть заданы в виде линейной комбинации этих двух базисных векторов. Обычно в качестве базисных выбирают ортогональные друг другу векторы (т.е. такие, для которых скалярное произведение равно нулю).

Заметим, что первый базисный вектор можно выбрать произвольно. Положим, например, х= 0 иу= 1. Тогдаz= –1/2.

Второй базисный вектор должен удовлетворять как уравнению плоскости (2x+ 1y+ 2z= 0), так и условию ортогональности:

Решая совместно эти два уравнения, получим: у= –2/5хиz= –4/5х. Таким образом, два базисных вектора, определяющих собственное двумерное подпространство будут иметь вид:

Можно переписать их в более удобном виде (без дробей)

Любой вектор, построенный в виде линейной комбинации:

b=а₂ + а₃

будет собственным для нашего оператора, с собственным числом –1, что легко проверить непосредственным действием оператора:

Аb= А(а₂ + а₃­) =А(а₂) + А(а₃) =А(а₂) + А(а₃) =

= (–1)(а₂) + (–1)(а₃) = (–1) (а₂ + а₃) = (–1)b

Собственные векторы и собственные значения линейных операторов обладают свойством инвариантности, т.е. они не зависят от выбора базиса.

Отметим еще одно важное свойство собственных векторов: они всегда образуют некоторый базис того линейного пространства, в котором действует рассматриваемый оператор. Он называетсясобственным базисом данного оператора. В ряде случаев использование собственного базиса позволяет существенно упростить вычислительную часть задачи, поскольку операторные уравнения, записанные в собственном базисе оператора, выглядят особенно просто. Матрица оператора, выраженная по отношению к собственному базису, имеетквазидиагональныйвид: по диагонали матрицы располагаются квадратные блоки меньшего размера, а все элементы вне этих блоков равны нулю.

Каждому невырожденному собственному значению соответствует диагональный блок единичного размера (11), т.е. просто число, причем это число и является собственным. Дважды вырожденным собственным значениям соответствует блок (22) и т.д.

Особенно просто выглядит матрица для случая, когда у оператора нет вырожденных собственных значений — она является чисто диагональной, причем по диагонали расположены ее собственные значения.