Линейные операторы
Рассмотрим такой частный случай умножения матриц, когда одна из матриц-сомножителей содержит всего один столбец (или одну строку):
В соответствии с нашими правилами умножения, в данном случае результат умножения будет представлять собой также матрицу с одним столбцом. Очевидно, что такое умножение можно трактовать и несколько иначе, а именно: как умножение матрицы на вектор-столбец. Заметим, что в результате снова получился вектор того же типа (столбец) и той же размерности. Такую операцию, обычно называют преобразованием вектора х в вектор у посредством матрицы А и записывают в виде следующего уравнения:
Матрица, используемая для преобразования исходного вектора (вектор-прообраз) в конечный вектор (вектор-образ), называется специальным термином —линейный оператор. В более общем смысле, под оператором понимается любое правило преобразования однотипных объектов друг в друга, например, прибавление числа, умножение на число, возведение в степень, дифференцирование, интегрирование и т.д. Такое правило можно описать многими способами. Одним из таких способов является задание оператора посредством матрицы (совокупности чисел — матричных элементов). Поэтому матрицы часто называют такжематричными представлениямиоператоров.
Рассмотрим в качестве примера операции симметрии. Будем трактовать эти операции как операторы, т.е. как правила преобразования объектов. Каждый такой оператор можно легко изобразить посредством квадратной матрицы — матричного представления операции симметрии.
Например, смысл единичной операции заключается в том, что все составные части объекта сохраняют свое положение. Пространственные координаты любой такой части можно задать в векторной форме:
1
Таким образом, матричным представлением единичной операции симметрии является единичная матрица.
Рассмотрим другую операцию — С2z . Ее смысл заключается в повороте любого объекта вокруг осиz на половину полного оборота. Легко догадаться, что при этом происходит с координатами вектора: координатаzне изменяется вообще, а координатыxиуменяют свои знаки на противоположные. Чтобы достичь такого результата действием матрицы на вектор-столбец, необходимо, чтобы матрица имела следующий вид:
Аналогично, найдем матричные представления для операций отражения:
В результате мы получили набор из 4-х матриц. Заметим, что между матрицами существуют те же самые соотношения (связи) что и между операциями симметрии. Так, например, в группе симметрии С2v выполняется равенство:хz*yz=С2z. Если мы заменим операции симметрии их матричными представлениями, то равенство не нарушится. Отсюда можно заключить, что для матриц-представлений можно построить точно такую же таблицу умножения, что и для операций симметрии. Эти таблицы отличаются только обозначениями. Другими словами, полученный нами набор из 4-х матриц-представлений является группой, устроенной идентично группе симметрииС2v. Мы получили две одинаковые (изоморфные) группы, которые можно рассматривать как два экземпляра одной и той же абстрактной группы, в которых мы придаем элементам этой абстрактной группы различный конкретный смысл. Такие конкретизированные группы называютсяпредставлениями абстрактных групп. Группы, элементами которых являются числовые матрицы называютсяматричными представлениями. Матричные представления ТГС играют очень важную роль в описании симметрии физических и химических объектов и имеют обширные практические приложения.