Одномерный осциллятор
Х
Колебательное движение (под действием внешней силы)
X = A cos (ωt + φo) |
k |
ω = — |
|
|
m |
Амплитуда |
|
Начальная |
(максимальное |
Собственная |
фаза |
отклонение) |
|
|
частота |
|
|
|
|
|
|
(радиан/с) |
|
Х
t
PX
X
Траектория в галилеевом пространстве
Траектория в фазовом пространстве
Энергетическое представление
U
Силы
F = – kx
Потенциальная
энергия
U = kx2
x
0
Квантовомеханическое описание
Задача: найти все стационарные состояния осциллятора; для каждого состояния установить вид волновой функции и допустимые значения наблюдаемых
Φ(х, t) = ??? |
E = ??? |
Φ(х, t) = D1 1 + D2 2 + . . . + Dr r
Стационарные волновые функции
(собственные функции оператора Гамильтона)
E |
|
i — t |
= ( ) еi ωt |
(х, t) = (х) е |
Н = Е |
Н = Т + U |
2 |
d 2 (x) |
mω2x2 |
– —— ———– + ——— (x) = Е (x) |
||
2m |
dx2 |
2 |
d 2 (x)
———
dx2
2m |
mω2x2 |
+ —– |
E – ——— (x) = 0 |
2 |
2 |
а) переменную х заменим на = ( )1/2 х, где = mω/ при этом функция (х) переходит в функцию ( ),
б) вместо энергии Е возьмем другую меру энергии= (2m / 2) E
|
– 2 |
|
(х) |
( ) = е 2 |
Н( ) |
d 2 Н( ) |
2 |
d Н( ) |
+ |
|
Н( ) = 0 |
——— – |
—–— |
— – 1 |
|||
d 2 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение Эрмита
Н( ) — функции (полиномы) Эрмита
Условие
разрешимости
|
v = 0, 1, 2, … |
— – 1 = 2v , где |
|
|
|
Колебательное квантовое число
Нv ( ) = (–1)v exp( 2) dv [exp(– 2)]/d v
Н0 = 1; H1 = 2 ; H2 = 4 2 – 2; H3 = 8 3 – 12
Нv + 1 = 2 Нv – 2v Hv – 1
Н4 = 2 Н3 – 2v H2
Н = 2 (8 3 – 12 ) – 6(4 2 – 2) = |
||
4 |
|
|
= 16 4 |
– 24 2 |
– 24 2 + 12 = |
= 16 4 |
– 48 2 |
+ 12 |
Энергия
|
|
— – 1 = 2v |
|
|
|
2mE |
|
—— |
—— – 1 = 2v |
2 |
mω |
2E
—– – 1 = 2v
ω
E = ω(v + 1/2)
E 
(9/2) ω
(7/2) ω
(5/2) ω
(3/2) ω
(1/2) ω
v = 4
v = |
3 |
|
v = |
2 |
|
ω |
v = 1
v = 0
0
Волновые функции
– 2 |
|
( ) = е 2 Н( ) |
о |
|
Н0 = 1 H1 = 2
H2 = 4 2 – 2 H3 = 8 3 – 12
Волновые функции
– 2 |
Н( ) |
|
( ) = е 2 |
1 |
|
|
|
Н0 = 1 H1 = 2
H2 = 4 2 – 2 H3 = 8 3 – 12
