Векторное
пространство
1. Множество ВЕКТОРОВ
V = { a, b, c, d, … }
2. Операция «сложения» (коммутативная):
a + b = b + a = c
3.Вспомогательная операция «умножения на число»:
a = a = d
Правило: результат обеих операций — вектор, принадлежащий тому же множеству V , что и исходные векторы
Условия
ассоциативности
(a + b) = a + b
( + ) a = a + а
Линейные комбинации
a + b + c + … = d
СИНТЕЗ (из нескольких известных векторов можно получать все новые и новые векторы)
a + b + c + … |
d |
АНАЛИЗ (любой «плохой» вектор можно заменить ЛК «хороших» векторов)
d 
a + b + c + …
Синтез: |
2 Н |
+ 1 О |
Н2О |
Анализ: |
Н2О |
2 Н + 1 О |
|
Y
R j
j
i X
1 i + 2 j = R R = 1 i + 2 j
Линейная оболочка
1 a + 1 b + 1 |
c = d1 |
Линейная |
|
2 a + 2 b + 2 |
c = d2 |
||
оболочка |
|||
3 a + 3 b + 3 |
c = d3 |
векторов |
|
a, b, c |
|||
|
|
•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Всякая линейная оболочка представляет собой структуру — «векторное пространство»
{ a, b, c } — «базис» ВП
Число векторов в базисе — «размерность» ВП
Двумерные подпространства
a b
c
Трехмерное ВП
В любом ВП существует не один базис, а бесконечно много эквивалентных между собой базисов
(несмотря на то, что в такие наборы входят различные векторы, их линейные оболочки в точности совпадают и составляют одно и то же ВП).
Число векторов в любом базисном наборе одинаково
Все ВП одинаковой размерности изоморфны друг другу, т.е. для каждой размерности существует только одно ВП (если абстрагироваться от физического смысла векторов)
pz |
n(NH3) |
p |
y |
n(N2) |
|
|
|
px |
|
n(H2) |
Трехмерное ВП |
|
Трехмерное ВП смесей |
импульсов |
|
«H2 – N2 – NH3» |
Два экземпляра одного и того же абстрактного трехмерного ВП
Координатное представление векторов
ВП → базис { е1, е2, …, еn }
X = x1 e1 |
+ x2 e2 |
+ … + xn en |
Y = y1 e1 |
+ y2 e2 |
+ … + yn en |
Z = z1 e1 |
+ z2 e2 |
+ … + zn en |
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
X |
= ( x1, x2, … , xn ) |
Координатные |
Y |
= ( y1, y2, … , yn ) |
представления |
векторов X, Y, Z |
||
Z = ( z1, z2, … , zn ) |
относительно базиса |
|
{ е1, е2, …, еn } |
||
1.Всякому вектору Х соответствует набор чисел- координат ( х1, х2, …, хn )
2.Всякий упорядоченный набор чисел ( х1, х2, …, хn )
можно рассматривать как вектор Х
X = ( x1, x2, … , xn )
Вектор-строка (ковариантный вектор)
Х 
Х
транспонирование
x1
X = x2
…
xn
Вектор-столбец
(контравариантный вектор)