Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
6 (1). Волновая функция и ее физический смысл
ГИПОТЕЗА ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
Итак, реальность волновых свойств микрочастиц 
подтверждена прямыми экспериментами. Возни- кает вопрос о физическом смысле волн де-Бройля.
На первых порах развития квантовой механики была сделана попытка рассматривать микрочастицы как волновые пакеты. В настоящее время общеприня- той является другая - статистическая - интерпрета-
ция физического смысла волн де-Бройля, однако гипотеза волнового пакета до сих пор представля- ет интерес, и мы ее коротко рассмотрим.
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Путем наложения (супер- позиции) плоских волн с непрерывно меняющими- ся волновыми числами можно осуществить такой волновой процесс, при ко-
тором амплитуда волны будет заметно отли- 
чаться от нуля только в небольшой части 
пространства, а в остальном пространстве бу- дет почти равна нулю. Такой волновой про- цесс называется волновым пакетом.
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Вследствие непрерывного изменения волнового чи- сла k сложение волн представляется интегралом
k0 |
k |
a cos t |
kx dk |
|
u |
|
(6.1) |
k0 k
где амплитуду a складываемых волн будем считать постоянной во всем интервале от -Δk до +Δk.
Какова бы ни была зависимость частоты ω от волно-вого 
числа k, ее можно представить в виде ряда 
|
d |
|
k k0 k k0 |
|
|
|
|
|
|
dk |
k k0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
k k0 |
|
|
d |
|
... |
|
|||
2 |
|
|
|
2 |
(6.2) |
|||||
|
|
|
|
dk |
|
k k0 |
|
|||
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Для малого интервала Δk в формуле (6.2) мо-жно ограничиться первыми двумя членами разложения. Подставляя в (6.1), получаем
|
k0 k |
|
|
|
|
|
d t kx |
|
|
|
u a |
|
|
k k |
|
|
|||||
cos t |
0 |
dk |
(6.3) |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
k0 k |
|
|
|
|
|
dk |
0 |
|
|
где для краткости обозначено:
0 k0 , |
d |
|
|
d |
|
|
|
||||
|
dk |
|
|
dk |
|
|
|
0 |
|
|
k k0 |
|
|
|
|
|
|
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Интеграл (6.3) легко вычисляется с помощью заме-ны переменной. Обозначим
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
0t k k0 |
|
|
kx z |
|||||
|
|
|
t |
||||||
|
|
|
dk |
0 |
|
|
|
|
|
тогда |
dk |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t x |
|
|
|
|||
|
|
dk |
0 |
|
|
|
|
|
|
и интеграл (6.3) принимает вид: |
|
k0 |
k |
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
cos z dz |
||
|
u |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t x |
k0 |
k |
|
|||
|
|
dk |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Подставляя пределы и умножая числитель и знаме- натель на Δk, получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
k |
|
|
t x |
|
|
||||
|
d |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2a k |
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
||
|
|
|
|
|
|
cos 0t k0 x |
||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d t x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот результат можно интерпретировать так же, как 
формулу (4.7): косинус cos 0t k0 x представляет 
фазу рассматриваемого волнового процесса, а стоящий перед ним множитель переменную 
(модулированную) амплитуду. 
Групповая скорость волнового пакета
Обозначим: |
k |
|
t x |
|
|
d |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(6.5) |
|
|
|
dk |
|
||
|
|
|
|
|
|
Тогда формулу (6.4) можно записать в виде: |
|
||||
|
u 2a k sin cos 0t k0 x |
(6.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, характер изменения амплитуды оп- |
|
ределяется множителем sin / , который при |
0 |
равен 1 (точнее, имеет предел, равный 1 при |
0 ). |
При увеличении он убывает, и при , 2 ,...
обращается в нуль. В промежутках между этими значениями он имеет второстепенные максимумы, но с точностью 5% можно считать, что весь ход фун- кции sin / сосредоточен на интервале , а за пределами этого интервала он равен нулю.
Групповая скорость волнового пакета
Итак, множитель sin / при 0 имеет максимум, равный 1. Скорость перемещения этого максиму- ма можно считать скоростью перемещения всего волнового пакета. Для ее определения запишем
условие 0 : |
d |
|
|
|
|
|
x |
t 0 |
|
dk |
0 |
Дифференцируя по t, находим:
dx |
d |
|
|
|
|
|
vгр |
(6.7) |
|
dt |
|
|
||
dk |
0 |
|
|
Сравнивая с формулой (4.10), видим, что скорость перемещения волнового пакета равна групповой скорости волн де-Бройля. 
Волновой пакет
Итак, в результате суперпозиции |
|
|
||||||||
волн получился волновой пакет с |
|
|
||||||||
амплитудой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
k |
|
t x |
|
|
|
||||
|
d |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dk |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A 2a k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d t x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
||
примерный вид которой изображен |
||||||||||
на рисунке. Волновой пакет движется |
|
k |
||||||||
|
|
|||||||||
со скоростью, равной групповой скорости волн де- Бройля, которая, в свою очередь, равна скорости частицы. Ширина пакета Δx обратно пропорцио- нальна интервалу Δk волновых чисел волн, образу- ющих пакет. 