Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

10 (2). Простейшие задачи квантовой механики.

Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим одномерное движение частицы в об- ласти, где существует потенциальный барьер: "ступенька" прямоугольной формы. Направим ось x по направлению движения частицы. На границе областей 1 и 2 частица либо пройдет через барь- ер в область 2, либо отразится и будет двигаться в область 1 в противоположном направлении. Ес-ли слева направо движется поток частиц, то часть из них пройдет через барьер, а часть отразится.

Задача заключается в оп- ределении вероятностей прохождения и отражения частицы при прохождении через барьер.

Вклассической механике если кинетическая энер- гия частицы больше высоты барьера: T=E >U0, то частица преодолевает барьер с достоверностью.

Вквантовой механике это не так: частица может от- разиться от барьера с некоторой вероятностью R≠0.

Вклассической механике при E<U0 переход части- цы из области 1 в область 2 невозможен: отраже- ние с достоверностью происходит на границе об-

ластей. В квантовой механике имеется вероятность найти частицу в области 2. Докажем это, найдем эти вероятности и соответствующие коэффициенты отражения и прохождения (прозрачности).

Запишем уравнение Шредингера:

Найдем решения отдельно в области 1 и 2, а за- тем, используя условие непрерывности, согласуем эти решения (“сошьем”) между собой.

Тогда записанные уравнения принимают вид:

а их общие решения:

2 a2eik2 x b2e ik2 x

a1 – амплитуда падающей волны, в области 1, b1 – амплитуда отраженной волны, в области 1, a2 – амплитуда прошедшей волны, в области 2, b2 – амплитуда отраженной волны, в области 2.

Врассматриваемой задаче частицы, прошедшие в область 2, при движении в этой области никаких препятствий не встречают, поэтому отраженного потока в этой области быть не должно, значит

амплитуда отраженной волны в области 2 должна равняться нулю: b2 = 0.

Амплитуды b1 и a2 найдем из условий непрерыв- ности при x=0:

Решая относительно b1 и a2 находим:

Отсюда коэффициент отражения:

Для определения коэффициента прохождения (прозрачности) учтем различные скорости части- цы в областях 1 и 2:

Очевидно, D+R=1, т.е. частица либо отражается, либо преодолевает барьер, как и должно быть

В классической механике при E>U0 частица прео- долевает барьер с достоверностью. В квантовой механике это не так: частица может отразиться от барьера и в этом случае (с некоторой вероятнос- тью R≠0). В классической механике при E<U0 пе- реход частицы из области 1 в область 2 невозмо- жен: отражение с достоверностью происходит на

Отсюда вероятность найти частицу в области 2

Это означает, что отражение является полным, но не обязательно происходит на самой границе областей: некоторые частицы заходят в область 2, а затем возвращаются в область 1.