Физика атома, атомного
ядра и элементарных 
частиц
11 (2). Простейшие задачи квантовой механики. Линейный гармонический осциллятор
Гармоническим осциллято- ром называется частица, со- вершающая гармонические колебания. Потенциальная энергия равна
U |
m 2 x2 |
, |
0 |
f |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
m |
(11.1) |
поэтому уравнение Шредингера принимает вид: 
d 2 |
|
2m |
m 02 x2 |
|
|
||
|
2 |
2 |
E |
|
0 |
(11.2) |
|
dx |
|
|
2 |
|
|||
|
|
h |
|
|
|
||
Качественно задача подобна рассмотренной вы- ше задаче о движении частицы в потенциаль- ной яме, однако здесь имеется особенность, из- за которой задача довольно сильно услож- няется: в пределах ямы потенциальная энергия не имеет постоянного значения, а изменяется по параболическому закону.
Обозначим: |
|
m 0 |
x, |
|
2E |
(11.3) |
|
|
h |
|
|
h 0 |
|
Тогда уравнение Шредингера принимает вид:
2 0 |
(11.4) |
Будем искать решение в виде 2
ve / 2
Тогда для функции v получаем следующее уравнение: v 2 v 1 v 0
Будем искать функцию v в виде бесконечного
степенного ряда: |
|
|
|
v( ) a0 a1 a2 2 |
... ak k ... ak k |
|
k 0 |
(11.5)
(11.6)
(11.7)
Для того, чтобы решение не обратилось в беско- нечность, коэффициенты этого ряда надо подо- брать так, чтобы они были равны нулю, начиная с некоторого номера n+1. (Другими словами, беско- нечный ряд должен превратиться в полином сте- пени n). 
Подставим (11.7) в (11.6):
|
|
|
k(k 2)ak k 2 |
2 kak k 1 |
1 ak k 0 |
k 2 |
k 1 |
k 0 |
Приравнивая нулю сумму коэффициентов при оди- наковых степенях, получаем следующие рекуррен-
тные соотношения для коэффициентов ak:
2k 1
ak 2 |
|
|
|
|
(11.8) |
ak k 2 |
|
k 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
Как видно из этого соотношения, для того, чтобы an0, а an+2 = 0, необходимо, чтобы
n = 2n+1 |
(11.9) |
Отсюда и из формулы (11.3) находим энергию ос- циллятора:
|
1 |
|
n 0,1, 2, 3,... (11.10) |
En h 0 n |
2 |
, |
|
|
|
|
вчастности, при n = 0 минимальная энергия ос- циллятора не равна нулю:
E h 0 |
|
|
0 |
2 |
(11.11) |
|
||
что согласуется с соотношениями неопределен- ности. Энергия E0 называется "нулевой энер- гией"; она не исчезает даже когда температура стремится к абсолютному нулю. 
Рекуррентная формула (11.8) позволяет последо-
вательно вычислить все члены ряда. Функцию v можно теперь записать в виде:
v( ) an n an 2 n 2 |
a |
если n четное |
... 0 |
если n нечетное |
|
|
a1 |
Эти полиномы называются полиномами Эрмита и обозначаются Hn . Таким образом, волно- вая функция n, принадлежащая собственному значению En, выражается формулой
n (x) Cne 2 / 2 Hn ( ), |
|
m 0 |
x (11.12) |
|
|
h |
|
Коэффициенты Cn находятся из условия норми-
ровки: |
h |
|
|
|
n2dx Cn2 |
e 2 Hn2 ( )d 1 |
|||
|
m 0 |
|
|
|
Вычисления дают следующий результат: |
|
|||
Cn |
m 0 |
/ h |
(11.13) |
|
2n n! |
|
|||
|
|
|||
Вчастности, для нулевого состояния собственная функция имеет вид:
0 (x) 4 |
m 0 |
|
|
2 |
exp m 0 x |
|
|||
|
h |
|
2h |
|