Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
8 (2). Уравнение Шредингера. 
Найдем уравнение, которому подчиняются вол-
ны де-Бройля. Сначала рассмотрим свобод- |
|
||||
ную нерелятивистскую частицу. Для такой |
|
||||
частицы имеются соотношения: |
|
|
|
||
E h h ; |
p h hk; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E T p2 |
1 px2 py2 |
pz2 h2 kx2 |
ky2 |
kz2 |
. |
2m |
2m |
2m |
|
|
|
Сравнивая оба выражения для E, находим
|
h h2 |
k2 |
k 2 |
k 2 |
. |
(8.1) |
2m |
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
Свободной частице соответствует плоская волна
де-Бройля: |
Ae 2 i( t kr ) |
|
Продифференцируем эту формулу по t, x, y, z:
|
2 i i ; |
2 |
4 2kx2 ; |
|||
t |
|
|
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 2 ky2 ; |
|
4 2 kz2 ; |
||
|
y |
2 |
||||
|
|
|
z2 |
|
||
и выразим отсюда , kx, ky, kz
|
1 |
1 |
|
; |
kx2 |
|
1 1 |
|
2 |
|||||
2 i |
t |
4 |
2 |
x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ky2 |
|
1 |
1 |
2 |
kz2 |
|
1 |
1 |
2 |
|||||
4 |
2 y2 |
4 |
2 z2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя это в формулу (8.1), получаем:
ih |
|
h |
2 |
1 1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 t |
2m 4 |
2 |
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
или |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
ih |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|||||
t |
|
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|
2m |
|||
2m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Это и есть искомое волновое уравнение для сво- бодной нерелятивистской частицы (уравнение Шредингера в простейшей форме):
ih |
h2 |
|
t |
2m |
(8.2) |
Для частицы, движущейся в потенциальном поле |
||
кинетическая энергия T=E-U, поэтому уравнение |
||
(8.2) должно быть записано (обобщено) в виде: |
||
ih |
h2 |
U |
t |
2m |
(8.3) |
Это и есть общее нестационарное (содержащее время) уравнение Шредингера (Schrödinger E., 1926 г.) для частицы в потенциальном поле U.
Зависимость волновой функции от |
e i t |
e |
i E t |
времени выражается множителем: |
h |
Поэтому волновая функция может быть представ-
лена в виде |
|
|
|
|
|
i |
|
|
откуда |
(x, y, z, t) 0 (x, y, z)e |
hEt |
|
|||||
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
E 0e hEt |
|
|
(8.4) |
|||
|
t |
|
h |
|
|
|
|
|
Подставляя (8.4) в (8.2) и (8.3), находим: |
|
|
||||||
2m |
|
|
|
0 |
2m |
(E U ) 0 |
0 |
|
0 h2 |
E 0 0 |
|
и |
h2 |
||||
|
|
|
|
|
||||
Это стационарное (не зависящее явно от време- ни) уравнение Шредингера для свободной час- тицы и для частицы в потенциальном поле U.
Уравнение Шредингера
Итак, запишем еще раз все четыре формы уравнения Шредингера:
Нестационарное для свободной частицы
Нестационарное для частицы в потенциаль- ном поле U
Стационарное для свободной частицы
Стационарное для частицы в потенциаль- ном поле U
ih h2t 2m
ih h2 U
t 2m
0 2hm2 E 0 0
0 2hm2 (E U ) 0 0
(8.2)
(8.3)
(8.5)
(8.6)
Приведенные рассуждения следует рас- сматривать как пояснения к тому, каким образом было установлено уравнение Шредингера, но не как “вывод” этого урав- нения. Как и все основные уравнения фи- зики (уравнения Ньютона, Максвелла и т.д.), уравнение Шредингера не “выводит- ся”, а устанавливается, являясь, по сущес- 
тву, обобщением опытных фактов. Спра- 
ведливость этого уравнения подтвержда- ется согласием результатов, получаемых с его помощью, с данными экспериментов.
Уравнение Шредингера содержит первую
производную по времени и вторые по координатам. Поэтому никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, оно не описывает. Это еще один аргумент против гипотезы волнового пакета и подтверждение статистической 
интерпретации волновой функции: 
2 dW dV 
Терминология
Уравнение Шредингера в зависимости от вида функции U может иметь решения, удовлетворяющие естественным услови- ям (конечности, однозначности, непре- рывности, нормировки) либо при любых значениях E, либо лишь при некоторых
дискретных значениях E.
Те значения E, при которых уравне-
ние Шредингера имеет решение, называются собственными значе- ниями. 