11.4. Равновесие при централизованном управлении

Можно сформулировать условие общего экономического равновесия в ситуации централизованного управления. Эта гипотетическая для рыночной экономики постановка, тем не менее, оказывается полезной для формального решения ряда возникающих задач. Если управляющий орган имеет ту же систему предпочтений, которая использовалась в задаче оптимизации поведения потребителя, т. е. ту же форму функции полезности и тот же коэффициент дисконтирования, то можно показать, что решение задачи оптимального управления в этом случае совпадет с децентрализованным равновесием. Формулировка задачи централизованного управления будет выглядеть следующим образом:

.

при условиях: и начальном состояниик0.

Функция Гамильтона для этой задачи имеет вид

.

Необходимые условия:

(11.16)

(11.17)

Прологарифмировав (11.16) и взяв производную по времени,

Получим

.

откуда с учетом (11.17)

После преобразований это условие принимает вид

(11.18)

Условие (11.18) представляет собой уже рассмотренное выше правило Кейнса—Рамсея. На основании представленного решения можно показать, что оно является предельным аналогом для непрерывного случая известного дискретного правила, утверждающего, что в оптимальном состоянии предельная норма замещения равна предельной норме трансформации. Уравнение (11.18) показывает, что потребление будет расти во времени, оставаться постоянным или убывать в зависимости от

того, будет ли чистый предельный продукт капитала за вычетом темпа роста населения больше, меньше или равен межвременной норме предпочтений. Легко видеть, что из (11.18) можно получить условие (11.13), а условие трансверсальности для описанной задачи приводится к условию (11.14). Таким образом, решение будет таким же, как в децентрализованной задаче. Поскольку при централизованном управлении достигается Парето-оптимальное решение, результат в децентрализованной экономике также оптимален по Парето.

11.5. Устойчивое состояние

Стационарное состояние в описанной модели достигается при

и . Это означает, что в стационарном состояниис и к

растут с постоянным темпом g, а С и К — с постоянным темпом

(п + g). Этот результат совпадает с выводами модели Солоу.

Из (11.12) и (11.13) следует, что стационарное состояние достигается при одновременном выполнении условий

; (11.19)

. (11.20)

Отсюда стационарное состояние описывается системой уравнений

(11.19')

(11.20')

На рис. 11.1 в координатах отражено условие (11.19),

причем максимум, достигаемый при , соответствует Золотому правилу, так как из этого условия видно, что потребление максимально при

Из (11.20) следует, что стационарный уровень потребления

достигается при значении, при котором ставка процента

совпадает с Это значение определяется независимо от и поэтому представлено на рисунке вертикальной прямой. Поскольку выполняется свойство убывающей предельной производительности капитала и имеют место условия Инада, решение (11.20) существует и единственно. Это решение, будучи

Рис. 11.1. Стационарное состояние в модели Рамсея

подставлено в (11.19), определит устойчивый уровень потребления. Модифицированное Золотое правило означает, что откуда следует , что отражено на рисунке.

Таким образом, в отличие от модели Солоу, в модели Рамсея устойчивый уровень капиталовооруженности не может быть выше Золотого правила, т. е. возможность динамической неэффективности отсутствует. Темпы роста в устойчивом состоянии те же, что в модели Солоу, и не зависят от вида производственной функции и параметров и, отражающих предпочтения индивидов. Эти параметры влияют только на уровень потребления и капитала в расчете на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии.

Если предпочтения индивида будут меняться в сторону большей склонности к сбережениям, то это приведет к падению параметра илии, следовательно, снижению(что видно из (11.20)). Следовательно,увеличится, прямая сдвинется вправо, и, значит, , также станут больше, чем раньше.

Совершенствование технологии, вызывающее улучшение производственной функции, вызовет сдвиг вверх кривой и вправо линии(см. (11.19) и (11.20)). В результате вырастут.

Увеличение параметров приведет к сдвигу вниз кривой и влево линии. Результатом явится снижение как , так и , .