- •Глава 11 модель рамсея
- •11.1. Задача потребительского выбора
- •11.2. Задача фирмы
- •11.3. Общее экономическое равновесие
- •11.4. Равновесие при централизованном управлении
- •11.5. Устойчивое состояние
- •11.6. Траектории изменения показателей
- •11.7. Траектория изменения нормы сбережений
- •11.7.1. Динамика нормы сбережения.
- •11.8. Скорость конвергенции. Случай производственной функции кобба-дугласа
- •11.9. Последствия бюджетно-налоговой политики
Глава 11 модель рамсея
Формулировка модели. Оптимизация поведения домашних хозяйств. Оптимизация поведения фирмы. Общее экономическое равновесие.
Равновесие при централизованном управлении. Эквивалентность решения рыночной модели и модели централизованного управления. Правило Кейнса-Рамсея. Условие трансверсальности.
Устойчивые (стационарные) состояния. Динамика макроэкономических показателей. Динамика нормы сбережения. Случай производственной функции Кобба-Дугласа.
Скорость конвергенции в модели Рамсея. Случай производственной функции Кобба-Дугласа.
Влияние на равновесие бюджетно-налоговой политики. Политика сбалансированного бюджета. Влияние долгового финансирования бюджетного дефицита.
Одним из недостатков модели Солоу является экзогенное задание постоянной во времени нормы сбережений. Этот недостаток преодолевается в модели Рамсея—Касса—Купманса, которую мы будем в дальнейшем для краткости называть моделью Рамсея ([26], [11], [20]). В ней траектория потребления и, следовательно, сбережений определяется в ходе решения задачи оптимизации поведения домашних хозяйств и фирм, взаимодействующих друг с другом в условиях совершенной конкуренции. Поэтому далее будут отдельно рассмотрены модели поведения домашних хозяйств и фирм, а затем модель общего экономического равновесия.
11.1. Задача потребительского выбора
Рассматривается задача оптимизации деятельности репрезентативного домашнего хозяйства. При принятии решений оно учитывает благосостояние и ресурсы своих настоящих и будущих членов, т. е. считается, что каждая семья живет бесконечно долго и между ее поколениями существуют альтруистические связи. Таким образом, можно условно считать, что ее решения аналогичны решениям бесконечно живущего индивида. Задача оптимизации потребительского поведения репрезентативного домашнего хозяйства с L работающими членами аналогична задаче оптимизации совокупного потребления в экономике с численностью населения L. Пусть население растет с постоянным темпом п и численность населения в нулевой момент времени равна 1, т. е. L, = . Функция полезности индивида (домашнего хозяйства, представляющего все население) имеет вид:
(11.1)
где с, — потребление на душу населения в момент времени /;
р (р > 0) — коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.
Таким образом, функция полезности представляет собой взвешенную сумму всех будущих значений полезности, причем веса определяются с помощью индивидуальных коэффициентов дисконтирования. Функция полезности является сепарабельной, т. е. полезность в каждый момент времени зависит только от потребления в этот момент.
u'(с)>0; и"(с)<0 и выполняются условия Инада:
Коэффициент дисконтирования для индивида и всего поколения один и тот же. Рассматривается закрытая экономика с реальными переменными, т. е. все переменные измерены в единицах товаров и услуг. Экономика работает в условиях совершенной конкуренции. Доходы индивида складываются из заработной платы и доходов, полученных за принадлежащие ему активы. Свои доходы он тратит на потребление и сбережения в форме накопления дополнительных активов. Активы — это капитал либо заемные средства. Заемные средства могут быть и отрицательными, в этом случае их величина представляет собой долг. Домашнее хозяйство может как давать в долг, так и занимать средства у других домашних хозяйств, но, в конце концов, долги должны быть возвращены. Капитал и заемные средства являются совершенными заменителями, поэтому в каждый момент времени t приносят одинаковый доход в виде реального процента г,.
Пусть в момент t чистые реальные активы (капитал и заемные средства за вычетом возврата долга), приходящиеся на каждого индивида, — а,, реальная ставка заработной платы — w,, тогда его доходы составят (w, + г, at). Вследствие роста населения активы в каждый момент времени уменьшаются на величину па,, поэтому бюджетное ограничение индивида имеет вид:
(11.2)
Рынок заемных средств накладывает ограничение на займы — нельзя бесконечно выплачивать взятые кредиты за счет новых долгов (условие отсутствия игры Понци). Так как чистый долг в расчете на члена семьи растет с темпом г—п,то это ограничение имеет вид:
(11.3)
Таким образом, задача оптимизации поведения потребителя сводится к максимизации функции (11.1) при ограничениях (11.2) и (11.3). Эту задачу динамической оптимизации можно решить с помощью принципа максимума Понтрягина. Для этого строится функция Гамильтона
Необходимые условия для ее максимизации имеют вид
(11.4)
(11.5)
Условие трансверсальности:
(11.6)
Здесь λ представляет собой приведенную теневую цену активов. Дифференциальное уравнение (11.5) — это уравнение Эйлера, описывающее необходимое условие, которому должна удовлетворять каждая оптимальная траектория. На основании этого уравнения сформулировано правило Кейнса—Камсея. Оно было выведено Рамсеем и проинтерпретировано Кейнсом. Смысл этого правила можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем логарифм от обеих частей (11.4) и продифференцируем полученное уравнение по времени.
(11.7)
Из (11.5) , откуда с учетом (11.7) получаем
(11.8)
Поскольку выражение в квадратных скобках в правой части
(11.8) отрицательно, динамика потребления во времени зависит от соотношения дохода на капиталr за вычетом темпа роста населения п и коэффициента межвременного предпочтения р. Потребление будет расти во времени , если доход на капитал в расчете на каждого члена семьи выше нормы дисконтирования, падать в противном случае и оставаться постоянным, если эти коэффициенты совпадают. Другими словами, домашние хозяйства готовы отказаться от части сегодняшнего потребления ради увеличения его в будущем, если этот отказ будет компенсирован доходом, превышающим норму межвременного предпочтения. Размер этой компенсации определяется выражением, стоящим в квадратных скобках (11.8). Оно представляет собой эластичность предельной полезности по потреблению. Это выражение показывает, насколько(r-п) должно превышать р для каждой величины. Чем выше эластичность, тем больше должен
быть разрыв между (r— п) и р для заданной величины . Эластичность предельной полезности по потреблению является величиной, обратной к эластичности межвременного замещения. Для того чтобы существовало стационарное состояние(r — const, — const), эта эластичность должна асимптотически стремиться к постоянной величине. Поэтому в качестве функции полезности обычно используют функцию с постоянной эластичностью замещения, равной . При подстановке этого выражения в (11.8) получаем
(11.8')
Условие трансверсальности (11.6) означает, что стоимость активов домашних хозяйств, представляющая собой произведение их теневой цены X на количество а, должна со временем стремиться к 0. Если бы речь шла о конечном временном горизонте, то это означало бы, что к концу все накопления должны быть истрачены.
При бесконечном временном горизонте это условие выполняется в предельном смысле.
Если решить дифференциальное уравнение (11.5), то можно получить траекторию изменения теневой цены во времени:
Из (11.4) следует, что Хо = и'(со)>О, т. е. Хо — положительная константа. Таким образом, если подставить полученное решение в условие трансверсальности, то оно примет вид
(11.6')
Отсюда следует, что активы не могут расти с темпом r—п и выше, такое решение будет неоптимальным, поскольку полезность в случае увеличения потребления за счет отказа от части накоплений будет возрастать. В случае постоянных займов (<0) желание расплачиваться за долги путем новых заимствований, т. е. желание накапливать долг с темпом r— п и выше, сдерживается отсутствием кредиторов, готовых накапливать активы с темпом r—п и выше. Отсюда становится понятной необходимость введения в задачу потребительского выбора условия отсутствия игры Понци (см. условие (11.3)).