Лекция 2.

§1.3. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них

Вероятность строится как определенная числовая мера над множествами - событиями.

Определение. Система F подмножеств из Ω, удовлетворяющая условиям:

1. Ω  F (Ω элемент этой системы F);

2. A, B  F => A+B  F, AB  F, и F,

называется алгеброй. Если условие 2 выполняется для счетного числа событий, то такая система называется  - алгеброй.

Определение. Наблюдаемым событием называется такое подмножество из Ω , которое одновременно является элементом из F. Поле событий является алгеброй.

Определение. Вероятностью события A называется числовая функция P(A), определенная на алгебре событий F и такая, что выполняется следующие 3 аксиомы:

Аксиома 1. P(A)0.Аксиома 2. P(Ω)=1

Аксиома 3. Для любых A₁, A₂, A₃,….. A_n , таких что A_iA_j=0, ij (попарно несовместных) выполняется: P(A₁+A₂+…..+A_n)=P(A₁)+P_P(_n).

Замечание: если аксиома 3 выполняется для счетного числа событий, то она называется аксиомой  - аддитивности.

Определение. Тройку {, F, P} называют вероятностным пространством для данного случайного эксперимента.

Построение вероятностного пространства равносильно математической формализации эксперимента. наиболее ее трудной частью является задание вероятностного распределения на поле событий (Р). Аксиомы вероятности определяют лишь свойства числовой функции Р(А) и ничего не говорят о том, какие именно значения вероятности следует ………… тем или иным исходом эксперимента. Моделирование случайного эксперимента - задача, выходящая за рамки теории вероятностей. Обычно ее решают методом математической статистики.

Однако во многих случаях вероятностное пространство может быть построено на основе проведения аналогии между описываемым экспериментом и какой-либо хорошо изученной моделью случайного эксперимента с известным распределением вероятности. Подобным образом, например, строится вероятностное пространство для так называемой классической схемы, которая подробно рассматривается далее.

Из аксиом вероятности вытекает ряд следствий.

1. P()=0 (вероятность невозможного события = 0) Заметим, что невозможное событие обязательно принадлежит алгебре)

+ Ω = Ω  сумма несовместных  (по аксиомам 2,3)  P()=0

2. =1-P(А)

A+=Ω (закон исключенного третьего)  (по аксиомам 2,3) P(A)=1-P()

3) Если A B  P(A) P(B)

Представим В более широким событием: В=ВΩ=В(А+)=ВА+В. Но так как АВ=А (по закону поглощения), то В=А+В - сумма двух несовместимых событий, то по аксиоме 3 

P(B)=P(A)+

4) P(A) 1

Действительно, А  Ω  (из следствия 3) результат.

5) Формула сложения вероятностей.

Для  А,В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (2)

A+B=(A+B)Ω=(А+В)(А+)=A+A+AB+B=A+AB+B=A+B

P(A+B)=P(A)+P(B) (3)

По формуле (1): B=AB+B  (по аксиоме 3) P(B)=P(AB)+P(B).

Подставим в формулу (3):

Р(В)=P(B)-P(AB)  P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

В частном случае, когда А,В - несовместны => P(AB)=0 => аксиома аддитивности.

6) Формула сложения для 3-х событий.

P(A+B+C)=P((A+B)+C)=

=P(A+B)+P(C)-P((A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-(P(AC)+P(BC)-P(ABC))=

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) (4)

7) Для  А₁, А₂,….,А_n :=

= (5)

Задача (о рассеянной секретарше): Дано n писем и n конвертов. Cекретарша все перепутала и отослала наудачу. Какова вероятность, что хотя бы один из адресатов получит свое письмо?

См. задачу №14.221 в []

8) Формула классической вероятности (схема урн)

Пусть выполнены два условия:

1. Ω =₁, ₂,…, _n (множество  - конечное)

2. P(₁)=P(₂)=…= P(_n) ( исходы равновероятны)

Тогда справедлива формула классической вероятности:

, где - число элементовА, - число элементовΩ.

В силу конечности  , алгебра F - система всех подмножеств из  - является алгеброй  любое подмножество из  - наблюдаемое событие. Тогда А =_k1, _k2,…, _km, /А/=m

Т.к. Ω =₁+₂+…+_n  (по аксиомам 2,3)  1=Р(₁)+Р(₂)+Р(_n)=рn, где p=p(_k), k=1,2,..,n  p=1/n P(A)=mn==

Пример 1. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаем одну карту. Найти вероятность события С=появится картинка или карта красной масти.

Логика => Алгебра => правила исчисления вероятности сложных событий. Ключевым является слово “наудачу”, что оправдывает применение схемы классической вероятности => C=A+B, где А=появится картинка, В=появится карта красной масти.

По Ф.С.В.(2)  P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=.