Лекция 20

- задано, (1)

~  Ф-1=,

Ф=.

В данном случае ищется квантиль.

Определение. Квантиль порядка р для данного распределения есть число t_p:

Определение. Критическая точка порядка р:

Из (1) 

(2)

- доверительный интервал для математического ожидания.

Говорят: «Полученный интервал накрывает неизвестные значения математического смещения»

, при

Формально можно было сделать так:

; Делим на

,

 U~N(0,1)

Для построения доверительного интервала нужна подходящая статистика.

Определение. Статика , называется подходящей для построения доверительного интервала для неизвестного параметра , если выполнены два условия:

1. закон распределения Z₁ известен и не зависит от ;

2. как функция от  - непрерывна и строго монотонна.

Определение. Пусть найдены такие ₁ и ₂, что:

1. ₁< ₂ для любой выборки;

2. ;

3. Интервал - наименьшей длины для данного распределения статики, тогда интервал называется доверительным интервалом с вероятностью  накрывающим независимый параметр

Рассмотрим два типа распределения статики.

1. Р

   f_Z(z)-плотность

   

   

   

   

   аспределение (N, St)

z

Выберем симметричный интервал, площадь под графиком на ней равна .

=

Учитывая, что - строго монотонно зависит от , можно разрешить неравенство относительно   получаем доверительный интервал.

2. Распределение типа "хи-квадрат"

f_Z(z)



В

z₁ z₂

z

ыбираем интервал так, чтобы на концы попадало .

; - квантили из распределения статистики Z

Пример 1. Пусть X~N(m,²) m и ² – неизвестны. Построить доверительный интервал для m.

Статику U использовать нельзя, так как  - неизвестно. 

 Воспользуемся W-статикой.

~St(n-1)

В (2) сделаем замену: (3)

В (3) – длина интервала – случайная величина.

При увеличении n квантили перейдут к квантилям нормального распределения.

Пример 2. (продолжение). Построить доверительный интервал для ².

Подходящей статикой является V₂,

~

Имеем II-ой тип распределения. Находим точки:

(4)

Получим:.

- монотонно убывающая. Решим неравенство, учитывая это.

V₂(²)

V₂

²

V₁

(5)

*** Исследовать зависимость длины интервала от объема выборки, воспользоваться асимптотической нормальностью χ² и выразить квантиль χ² -распределения через квантиль нормали.

Стандартизация : ~N(0,1)

 т.к. нормали.

Замечание 1. Если математическое ожидание известно, то следует воспользоваться не статистикой V₂, а статистикой V₁.

~

Замечание 2. Чтобы получить доверительный интервал для , а не ² в условиях примера 2, надо извлечь корень и неравенства (5) 

 (6)

Закон сохранения вероятностей для монотонных статик: В силу того, что статистика и корень монотонны, то

Пример 3. Пусть Х~B(1, p) . Построить доверительный интервал для р.

Наилучшей оценкой для р является . Подходящая статистика для построения доверительного интервала является:

~N(0,1) (по теореме Муавра-Лапласа).

Проверим условие (2) подходящей статистики.

Z(p) – сложная зависимость.

,

Т.к. закон распределения статистики Z относится к первому типу, то

,

Взведем в квадрат:

Если поставить знак равно, то будет уравнение эллипса, сильно вытянутое вдоль биссектрисы.

При n>>1 найдем корни уравнения:

Ответ: только при больших n.