Лекции / Лекции (МП-3 Земсков) / Лекции (word) / Лекци16
.docЛекция 16.
5.2. Центральная предельная теорема.
Теорема. Пусть для последовательности случайных величин Х1, Х2,.., Хn выполняются условия:
-
при любых n случайные величины Х1, Х2,.., Хn – независимы в совокупности;
-
одинаково распределены;
-
существует
Обозначим:
, где
Тогда
(Подразумевается, что естественный закон будет нормальным)
Из условия (3) следует, что существует , .
Проверим, что - стандартизованная случайная величина.
Действительно,
=
=
Строим характеристическую функцию по этапам:
Заметим, что .
I этап. Ищем , т.к. по условию (3) существует
по свойству (4) характеристической функции существует и .
Тогда разложим функцию в ряд Тейлора до членов второго порядка включительно с остаточным членом в форме Пеано
(1)
(по свойству (1) характеристической функции);
;
Подставим это все в (1):
(2)
II этап. Так как (по свойству (3) характеристической функции)
(по формуле (2) ) =
III этап. ( по свойству (2) характеристической функции) =
=
Итак, .
=(, - малое)= = =
Замечание. Мы дали одну из простейших формулировок центральной предельной теоремы. Все более поздние формулировки связаны с устранением пункта 2). Необходимо одинаковое распределение, но тогда усложняются условие 3). Чаще всего оно формулируется в виде условия Венде Берга (гарантирует, что все слагаемые Хк вносят равномерно малый вклад в общую дисперсию)
Применение. 1) Баллистика.
2) Отклонение от нормали.
3) Статистика (ошибки распределений)
5.3. Следствия ЦПТ для схемы Бернулли.
Пусть ~B(n,p).
Известно, что , где Ik ~B(1,p) – индикатор успеха в n опытах по схеме Бернулли. Легко видеть, что последовательность I1 ,I2 ,…удовлетворяет ЦПТ. Можно утверждать, что если мы построим .
Очевидно, что при достаточно больших n :
.
Воспользуемся общей оценкой.
Уточнение ЦПТ для конечных n приводит к неравенству:
(3)
Известно, что
Применим оценку (3) для схемы Бернулли. Роль Хк выполняют Ik . Надо найти
Закон распределения Ik
Ik |
0 |
1 |
p |
q |
p |
Оценим правую часть в (3):
Тогда (4)
Локальная Теорема Муавра-Лапласа.
(5)
Пример 1. Сделано 100 выстрелов с вероятностью попадания р=0,3. Вычислить вероятность .
={ число попаданий при n=100 выстрелов}
(важно, чтобы р не было очень маленьким)
npq=100 0,3 0,7 = 21
Ошибка имеет порядок
.
Точный ответ: 0,7578