§1.4. Схема геометрической вероятности.

Распространим классическую схему на случай, когда Ω – непрерывно (континуум). Пусть Э. (эксперимент) удовлетворяет следующим условиям:

1. Ω – квадрируемая область (имеет площадь) на плоскости;

2. А  Ω – любая квадрируемая подобласть из Ω;

3. Эксперимент состоит в выборе наудачу точки из Ω (т.е. вероятность попадания в любую подобласть из Ω не зависит от ее расположения, а только от ее размера)  справедлива формула геометрической вероятности: (6)

Заметим, что квадрируемость понимается как площадь в смысле меры Лебега, а не меры Римана.

Обобщение Ф.Г.В. на случай евклидова пространства Rⁿ: (7)

Пример 2. Задача о встрече (на семинаре).

См задачу 14.148, 14.149 в [ ]

Пример 3. Задача Бюффона.

На плоскость, разграниченную параллельными прямыми линиями на расстоянии 2а друг от друга, наудачу бросается игла диной 2l (l<<a). Найти вероятность следующего события А=игла пересечет какую-либо из параллельных прямых линий.

Будем описывать положение иглы двумя координатами:  - угол, y – расстояние до ближайшей прямой.

(,y) – положение иглы по отношению к ближайшей прямой.

Ω = (,y ) 0, 0уа

А = (,y ) 0 уlsin; 0 }

Если l=a/2  P(A)=1/

Лекция 3.

§1.5. Условные вероятности. Независимость событий.

Аксиома 4.

, P(A) 0. (1)

Вероятность осуществления b при условии, что произошло a в том же эксперименте, определяется через отношение двух безусловных вероятностей.

Объяснение: рассмотрим классическую схему геометрической вероятности. Пусть A произошло  A (  сужается до множества А: если А произошло, то ясно, что другие точки рассматривать незачем)

На долю B приходится та часть, которая пересекается с В, т.е. АВ 

.

Определенная формулой (1) условная вероятность обладает всеми свойствами, которыми обладает безусловная вероятность. В частности,

1. P(/A)=1-P(B/A)

2. P(B₁+B₂/A)=P(B₁/A)+P(B₂/A)-P(B₁B₂/A)

P(B₁+B₂/A)= =

=P(B₁/A)+P(B₂/A)-P(B₁B₂/A)

Сохраняются и все остальные свойства.

Пример 1. В условиях примера 1 из лекции 2 вычислить P(A/B), P(B/A).

Пусть A={появится картинка}, B={появится красная масть}

Из определения следует:

.

Определение. События A и B называются независимыми, если выполняется условие:

P(AB)= P(A)P(B) (2)

Определение. Если (2) не выполняется, то события A и B - зависимые.

Следствие 1. Пусть А и В – независимые, причем P(A) 0, P(B)0. Тогда P(A/B)=P(B).

(Для независимых событий условная вероятность выполнения А при условии В, от В не зависит.)

Пример 2. Зависимые или нет события А и В из примера 1 ?

Необходимо проверить выполняется условие (2) или нет.

 А и В – независимые.

Следствие 2. Если А и В независимые, то независимы также и следующие пары событий: А и ,иВ, и.

Достаточно доказать для пары А и .

А=А Ω=А(В+В)=АВ+А. Из аксиомы 3 

.

Следовательно пара А и независимы.

Замечание: следствие сохраняет силу и для большего числа попарно независимых событий.

Если событий больше двух, то как понимать их независимость?

Определение. События A₁,A₂,…A_n называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества из этих событий { A_k1,A_k2,…,A_km}, m=1,2,….n, выполняется равенство:

P(A_k1,A_k2,…A_km)=P(A_k1)P(A_k2) …..P(A_km) (3)

Замечание: по парной независимости недостаточно для независимости в совокупности.

Пример 3 (Бернштейн). Опыт: тетраэдр, на каждой из трех сторон которого по одному цвету: красный, зеленый, синий, а четвертая грань имеет все три цвета., наудачу подбрасывается. События: грань, на которую упал тетраэдр, содержит данный цвет: красный, зеленый или синий.

Оказывается, что события К, З, С – попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Р(КЗ) = = Р(К)Р(З). Действительно, так как Р(К) = Р(З) =и события К и З - попарно независимы, то

Р(К) = Р(З) =

1. Р(КЗС) = Р(К)Р(З)Р(С) =.

Следствие 3. (связь независимости с несовместностью) Если А и В – несовместны, причем Р(А) > 0 и Р(В) > 0, то А и В обязательно зависимы.

Р(АB) = 0,т.к. АВ =(АиВнесовместны). С другой стороны, Р(А)Р(В) > 0(по условию)(2) не выполняется=> АиВ– зависимы.

Пример. Доказать, что из независимости двух событий вытекает их совместность.

Так как P(AB)=P(A)P(B) Р(АВ) > 0  AB  AB – совместны.

Имеется два варианта моделирования эксперимента с учетом независимости:

1. модель полностью формализована , т.е. Ω , F, P - построена  независимость событий устанавливается ( проверяется ) с помощью формулы (2);

2. при построении модели волевым усилием вносится а нее независимость событий  для этих событий автоматически выполняется (2).

Примеры.

• Различные стрелки стреляют по мишеням. Их результаты считаются независимыми.

• Наличие брака того или иного вида в аппаратуре, производимой на различных предприятиях по различной технологии- события независимые.