4.2.2. Интегрирование простейших рациональных дробей

Дробно-рациональная функция или рациональная дробь ― это дробь вида

P (x)

B xm + B xm−1

+K+ B

m

m

=

0

1

.

Qn (x)

A xn + A xn−1

+K+ A

0

1

n

Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют

общих корней, т.е. дробь сокращена.

т.е. m < n , то дробь называют

Если степень числителя меньше степени знаменателя,

правильной, в противном случае дробь называют неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив Pm (x) на Qn (x) (по правилу деления многочленов),

получим:

Pm (x)

= M (x) +

Pk (x)

,

где

M (x) -

многочлен,

Pk (x)

- правильная дробь (т.е.

Q

n

(x)

Q (x)

Q (x)

k < n ).

n

n

Определение

Правильные рациональные дроби вида:

1.

A

,

x − a

2.

B

(k Z+) ,

(x − b)k

3.

Mх + N

(дискриминант D =

p2

− q < 0 ),

x2 + px + q

4

Mx + N

4.

( D < 0 и k – целое положительное число).

(x2 + px + q)k

2.

B

dx = A

(x −b)−k dx = A (x −b)−k +1 +C .

∫ (x −b)k

∫

−k +1

Mх+ N

M

(2x + p) +(N −

Mp

)

3. ∫

dx =

∫

2

2

dx =

x

2

x

2

+ px + q

+ px + q

=

M

∫

2x + p

dx + (N −

Mp )∫

dx

=

2

x2 + px + q

2

x2 + px + q

=

M

∫

d (x2 + px + q)

+ (N

−

Mp

)∫

dx

=

2

x2 + px + q

2

(x

+

p

2

+ (q −

p

2

2

)

4

)

M ln

x2 + px + q

Mp )

1

x +

p

=

+ (N −

arctg

2

+C .

2

2

q −

p2

q −

p2

4

4