40. ∫(f1 (x) + f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx .

Действительно,

(∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx)' = (∫ f1(x)dx)' + (∫ f2 (x)dx)' = f1(x) + f2 (x)

и (∫[ f1(x) + f2 (x)]dx)' = f1(x) + f2 (x) .

Таким образом, функции (∫ f1dx + ∫ f2 dx)′ и ∫(f1 + f2 )dx являются первообразными для

функции f1(x) + f2 (x) , т.е. отличаются на произвольную постоянную C . В этом смысле и понимается свойство 40.

4.1.3. Таблица неопределённых интегралов

Из определения неопределенного интеграла получаем следующие формулы, справедливость которых можно проверить непосредственно дифференцированием.

ЗАМЕЧАНИЕ

В результате дифференцирования элементарных функций снова получаем элементарные функции, а операция интегрирования может привести к неэлементарным функциям. Доказано, что следующие интегралы не берутся в элементарных функциях:

∫e−x2 dx – интеграл Пуассона;

∫cos x2dx , ∫sin x2dx – интегралы Френеля;

dx

∫ln x – интегральный логарифм;

4