4.1.2. Неопределенный интеграл и его свойства
Определение |
|
|
|
|
Если функция F(x) |
является первообразной для |
f (x) , то выражение |
F(x) +C , где |
|
C = const , |
называют |
неопределённым интегралом |
от функции f (x) . |
Обозначается: |
∫ f (x)dx = F(x) +C. |
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 1 |
|
|
|
|
При этом f (x) называют подынтегральной функцией, |
f (x)dx ― подынтегральным выражением, |
|||
знак ∫ |
― знаком интеграла. |
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 2
В дальнейшем будем предполагать, что функция f (x) определена и непрерывна на некотором промежутке.
С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет собой совокупность (семейство) кривых (интегральных), каждая из которых получается путём сдвига одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси ОУ.
Рис. 4.1.1.
Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием функции f (x) .
Основные свойства неопределённого интеграла
10. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
d ∫ f (x)dx = f (x)dx и (∫ f (x)dx)′= f (x) .
Действительно, (∫ f (x)dx)'= (F (x) +C)' = f (x).
20. Неопределённый интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: ∫df (x) = f (x) +C.
Действительно, ∫df (x) = ∫ f ' (x)dx . Но первообразной для f ′(x) является f (x) , поэтому
∫ f ' (x)dx = f (x) + C . Тогда ∫df (x) = f (x) +C .
30. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого
интеграла, т.е. ∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx , где A ≠ 0. |
|
|
|
|
|||||
В |
самом |
деле, |
пусть |
F(x) |
– |
первообразная |
для |
f (x), |
тогда |
A ∫ f (x)dx = A(F(x) +C) = A F(x) +C1, где C1 = AC и A F(x) ― есть первообразная для функции A f (x) , т.к.
( A F (x))' = A (F (x))' = A f (x) .
Следовательно, ∫A f (x)dx = A F(x) +C1 = A∫ f (x)dx .
3