Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

раздел 4 конспекта лекций.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

752.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Пример 4.4.9

Какую работу нужно затратить, чтобы поднять, для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R , на высоту h ? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?

Решение

Работа

A переменной

силы

f (x), действующей

вдоль

оси Ox

на отрезке [a;b],

выражается интегралом

A = ∫ f (x)dx .

С другой стороны , по закону всемирного тяготения силаF ,

действующая на тело массой

m , равна

F = k

где M – масса земли, r – расстояние от массы

m до центра Земли, k

– гравитационная

постоянная.

Поскольку на поверхности земли, т.е. при r = R ,

вполняется

F = mg . то можно записать

mg = k

, откуда можно найти kM = gR2 . Поэтому F = mg

Следовательно, искомая работа равна

R +h

A = ∫Fdr =

∫mg

dr = mgR

−

= mgR

R +h

При h → ∞ A = lim mgR

= mgR .

R +h

h→∞

4.5. Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого и второго рода. Главное значение. Признаки сходимости. Свойства несобственных интегралов.

В определении интеграла ∫ f (x)dx предполагалось, что: a

• промежуток интегрирования [a;b] конечен.

• функция f (x) определена и непрерывна на [a;b].

Такой определенный интеграл называется собственным (слово собственный обычно опускается).

Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным определенным интегралом.

Выясним смысл этого нового понятия для двух простейших случаев.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

+∞		b
Этот интеграл по определению равен ∫ f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx . Несобственный интеграл
a	b→+∞	a
a		a

с бесконечным пределом интегрирования часто называют несобственным интегралом 1 рода. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, в противном

случае интеграл называется расходящимся.

Если F(x) – первообразная функция для подынтегральной функции f (x) , то

+∞

[F(b) − F(a)]= F(+∞) − F(a),

∫ f (x)dx =

lim

b→+∞

где F(+∞) =

lim

F(b)

b→+∞

Аналогичным образом определяются интегралы:

+∞

∫ f (x)dx =

lim

∫ f (x)dx и

∫ f (x)dx = ∫

f (x)dx + ∫ f (x)dx .

−∞

→−∞

−∞

Пример 4.5.1

+∞ dx

Установить, при каких значениях α сходится интеграл

∫

Решение

+∞

x1−α

+∞

x1−α

еслиα >1 .

∫

∫x−αdx =

lim

−

= −

1 −α

α −1

1 −α

−α

1 −α

x→+∞

∞,

если

α <1.

+∞

+∞ dx

= ln

= ∞. Следовательно,

Если α =1 , то ∫

+∞

сх при. α > 1

∫

α ≤ 1

расх при.

Во многих случаях достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится. Для этого могут быть полезными следующие теоремы.

Теорема 1 (Признак сравнения)

+∞

Если для всех x ≥ a выполняется неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g(x)

и если ∫g(x)dx сходится,

+∞

то ∫ f (x)dx тоже сходится, причем

∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx . Если же ∫ f (x)dx расходится, то

+∞

∫g(x)dx – тоже расходится.

Пример 4.5.2

+∞

Исследовать сходится ли интеграл ∫

)

(1 + e

Решение

+∞

Поскольку

и ∫

dx – сходится, то данный интеграл сходится.

(1 + e

)

Теорема 4.5.2

+∞

Если интеграл

∫

f (x)

сходится,

то сходится и интеграл

∫ f (x)dx . В этом случае

последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Пример 4.5.3

+∞

sin x

Исследовать сходимость интеграла ∫

dx .

Решение

sin x

+∞

Так как

≤

и ∫

dx сходится, то данный интеграл сходится абсолютно.

Теорема 4.5.4 (Предельный признак сравнения)

Если для всех х ≥ а функции f (x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0 , причем								f (x) ~ g(x) , то интегралы
								x→+∞
+∞			+∞
∫ f (x)dx и			∫g(x)dx одновременно сходятся или одновременно расходятся.
a			a
Пример 4.5.4
+∞	x −1	е−хdx сходится, так как		x −1	е−х	~ е−х		+∞	+∞ < ∞ ―
∫	x −1			x −1			и	∫е−хdx = −е−х
∫							и	∫е−хdx = −е−х
1	x			x		x→+∞		1	1
	x			x		x→+∞			1

сходится.

Пример 4.5.5

+∞	x −1	ехdx расходится, так как	x −1	ех	~ ех		+∞	+∞
∫						и	∫ехdx = ех
	x		x					1
1					x→+∞		1

= ∞ ― расходится.

Несобственный интеграл от разрывной функции

Пусть f (x) непрерывна при а ≤ х < c и имеет точку разрыва при x = c . Тогда несобственный интеграл

c		b
∫ f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx
a	b→c−0	a
a		a

называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или нет конечный предел.

Аналогично определяются интегралы:

∫ f (x)dx = lim

∫ f (x)dx (разрыв в точке a )

a→c+0

и ∫ f (x)dx =∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx (разрыв в точке x0 ).

Пример 4.5.6

1−m

∫

∫(x − a)−m d(x − a)=

(x − a)

0 (x − a)

1 − m

lim

(x −a)1−m

(−a)1−m

сходится при m <1,

−

1−m

>1.

→a

расходится при m

a = ∞

Если m =1, то ∫

= ln

x − a

расходится.

x − a

a	dx	сходится при m <1,
Таким образом ∫		=
	(x −a)m
0		расходится при m ≥1.

b dx

Например, интеграл a∫ (x − b)p является сходящимся.

Рассмотрим теоремы, устанавливающие признаки сходимости несобственных интегралов от

разрывной функции.

Теорема 4.5.5. (Признак сравнения)

Если

на отрезке

[а; с]

функции

f (x)

и g(x)

разрывные

точке

с, причем

g(x) ≥ f (x) ≥ 0 и ∫g(x)dx

сходится,

то

∫ f (x)dx тоже

сходится.

Если же ∫ f (x)dx

расходится, то ∫g(x)dx тоже расходится.

Теорема 4.5.6

Если

f (x) разрывная функция в точке

и интеграл

∫

f (x)

сходится,

то интеграл

∫ f (x)dx тоже сходится и такая сходимость называется абсолютной. a

Теорема 4.5.7

Если на отрезке [а; с] функции f (x) и g(x) разрывные в точке с, причем f (x) ≥ 0 и

g(x) ≥ 0

f (x) ~ g(x) , то интегралы

∫ f (x)dx

∫g(x)dx одновременно сходятся или

x→с

одновременно расходятся.

Пример 4.5.7

∫

dx сходится, так как

и ∫

сходится.

+ 4х

х +

4х

x→0 x

0 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025175.1 Кб5Психофизиология проф.деятельности - Синдром пси...doc
#
01.03.202550.26 Кб9пушкинский период.docx
#
14.08.2019733.18 Кб60Рабочая программа по численным методам123.doc
#
18.04.201541.16 Кб456Развитие Эвм.docx
#
18.04.2015972.19 Кб106раздел 3 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015752.06 Кб80раздел 4 конспекта лекций.pdf
#
18.04.2015917.12 Кб49раздел 5 конспекта лекций.pdf
#
01.04.2025403.46 Кб2раздел1..doc
#
01.04.2025437.25 Кб2Раздел2.doc
#
14.04.20191.13 Mб29Ракетный Крейсер Слава.doc
#
18.04.2015505.62 Кб319Расчет винтового домкрата З — копия.docx

Пример 4.4.9

Решение

4.5. Несобственные интегралы

Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

Пример 4.5.1

Решение

Теорема 1 (Признак сравнения)

Пример 4.5.2

Решение

Теорема 4.5.2

Пример 4.5.3

Решение

Теорема 4.5.4 (Предельный признак сравнения)

Пример 4.5.4

Пример 4.5.5

Несобственный интеграл от разрывной функции

Пример 4.5.6

Теорема 4.5.5. (Признак сравнения)

Теорема 4.5.6

Теорема 4.5.7

Пример 4.5.7