4.4.6. Геометрические приложения определенного интеграла

у

y=f (x)

+

+

0

a

b

х

Рис. 4.4.8.

4. Если фигура ограничена снизу и сверху графиками функций y = f1(x) и y = f2 (x) (рис.

4.4.9), причем

f1 (x) ≤ f2 (x) для всех x [а; b], то площадь

S данной фигуры определяется

формулой

b

b

S = ∫ f2 (x)dx − ∫ f1 (x)dx

a

a

у

y = f2 (x)

S

y = f1( x)

0

a

b

х

Рис. 4.4.9.

или, что тоже самое, S = b∫(f2 ( x) − f1(x))dx .

a

Пример 4.4.4

y = sin x , x [0; 2π] и осью Ох

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

(рис. 4.4.10).

у

y =sin x

0

π

2π

х

Рис. 4.4.10.

Решение

π

2π

S = ∫sin x dx + ∫sin x dx =−cos x 0π + (−cos x) π2π

= 2 + − 2 = 4 .

0

π

π

Или, учитывая симметричность фигуры S = 2∫sin x dx = 4 .

0

Пример 4.4.5

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x , y = 3 − x2 (рис. 4.4.11).

27

Решение

Найдем абсциссы точек пересечения прямой

y = 2x

и параболы

y = 3 − x2 . Решая систему

y = 2x

, получим х1

= −3 , х2 =1 . Искомая площадь равна

уравнений

y = 3 − x2

1

x3

1

∫(3 − х

2

−2х)dx =

2

2

− x

=10

3x −

3

−3

3 .

−3

у

у = 3 - х2

-3

0

1

х

у =2х

Рис. 4.4.11.

Вычисление площадей, если линии заданы параметрически

Если верхняя граница

АВ (рис. 4.4.12) криволинейной трапеции задана параметрическими

уравнениями х = ϕ(t)

и

y = ψ(t) ,

где α ≤ t ≤ β и

ϕ(α) = a;

ϕ(β) = b , то в формуле (1) надо

сделать замену переменной, положив х = ϕ(t) ,

y = ψ(t) ,

′

dx = ϕ (t)dt

у

)

x

(

B

y=f

A

S

0 a=ϕ(α)

b=ϕ(β) х

Рис. 4.4.12.

Тогда площадь криволинейной трапеции будет определяться, как:

y = ψ(t)

b

b

x = ϕ(t)

β

S = ∫ f (x)dx = ∫ydx = dx = ϕ′(t)dt

= ∫ψ(t)ϕ′(t)dt.

a

a

x = a t = α

α

x = b t = β

В итоге мы получаем, что

β

′

S = ∫ψ

(t)ϕ (t)dt .

α

Площадь сектора в полярных координатах

ρ(ϕ)

Пусть кривая задана уравнением: ρ = ρ(ϕ) ,

где

α ≤ ϕ ≤ β,

функция

непрерывна и

неотрицательна на промежутке [α; β]

(рис. 4.4.13).

28

у

A

ρ=ρ(ϕ)

β

В

α

0

х

Рис. 4.4.13.

Тогда площадь криволинейного сектора ОАВ, ограниченного линией

ρ = ρ(ϕ) и лучами

ϕ = α , ϕ =β, определяется формулой

Sсек = 1

β

∫ρ2 (ϕ)dϕ .

Пример 4.4.6

2

α

Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли ρ = a

сos 2ϕ (рис. 4.4.14).

у

π

4

S

0

х

Рис. 4.4.14.

′

1

π4

2

2

π4

2

sin 2ϕ π4

S = 4S

= 4

2

∫a

cos 2ϕdϕ =2a

∫cos 2ϕdϕ =2a

2

=

0

0

0

= a2 (1 − 0) = a2 .

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть T – некоторое тело, заключенное между плоскостями х = а

и х = b . Предположим,

что для любого

х [а; b]

известна S(x) –

площадь

сечения

этого

тела плоскостью,

перпендикулярной оси Ox (рис. 4.4.15).

a

x

b

х

Рис. 4.4.15.

b

Тогда объем тела T равен

V = ∫S(x)dx .

a