b

c

разобьем интегральную сумму ∑ ,

соответствующую отрезку [а;b], на две суммы: ∑ –

a

a

b

сумму, соответствующую [а;c]и ∑ – сумму, соответствующую [c;b]. Тогда

c

b

c

b

xi .

∑ f (ξi ) xi

= ∑ f (ξi )

xi + ∑ f (ξi )

a

a

c

Переходя к пределу при max xi → 0 , получим

b

c

b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

a

a

c

Если же, например, a < b < c , то на основании доказанного

c

b

c

b

c

c

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

∫ f (x)dx

= ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx . По свойству 60

a

a

b

a

a

b

получим

b

c

b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

a

a

c

Аналогично доказывается это свойство при другом расположении точек a,b,c .

4.4.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница

x

Пусть

f (x) – непрерывна на [а;b]. Рассмотрим интеграл ∫ f (t)dt , где t [a; x] [a;b]

x

′

′

= ∫ f (t)dt

= f (x) .

Φ (x)

a

Доказательство

x , тогда

Дадим x приращение

x+

x

x

x+

x

Φ(x + x) = ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt + ∫ f (t)dt .

a

a

x

Найдем приращение ΔΦ :

x+ x

x

x

x+ x

x

ΔΦ = Φ(x + x) −Φ(x) = ∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt =

∫ f (t)dt

+

∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt .

a

a

a

a

a

x+

x

Таким образом ΔΦ =

∫ f (t)dt . Применим к этому интегралу теорему о среднем (рис. 4.4.5):

a

x+

x

ξ [x; x +

x].

ΔΦ = ∫ f (t)dt = f (ξ)(x +

x − x) = f (ξ)

x , ãäå

′

Φ

f (ξ)

x

f (ξ) . Так как ξ → x при

Найдем

Φ (x) =

lim

=

lim

= lim

→x0 ,

то

x

x

x→0

x→0

x→0

′

= f (x) .

lim f (ξ) = lim f (ξ) = f (x) вследствие непрерывности. Следовательно, Φ (x)

x→0

ξ→x

Теорема 4.4.2 (Праввило Ньютона – Лейбница)

f (x) , непрерывной на [а;b], то

Если

F(x) есть какая-либо первообразная для функции

справедлива формула

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a)

― формула Ньютона – Лейбница.

a

Доказательство

x

Пусть

y = f (x) - первообразная для

f (x) . Но

∫ f (t)dt

– тоже первообразная для f (x) ,

′

a

x

т.е.

так как ∫ f (t)dt

= f (x) . Эти первообразные отличаются на произвольную постоянную,

a