4.4. Определенные интегралы и их приложения

На каждом

частичном

отрезке

[xi ; xi+1 ] разбиения

выберем

произвольную

точку

ξi [xi ; xi+1 ].В каждой точке ξi вычислим значение функции f (ξi ) .

Sn

n−1

xi , которую

Составим сумму

=

∑ f (ξi )

будем

называть

интегральной

суммой

i=0

функции f , соответствующей этому разбиению.

Обозначим через λ =

max

xi максимальную длину частичных отрезков [xi ; xi+1 ].

0≤i≤n−1

Определение 4.4.1

Пусть f (х)

непрерывная функция на [а;b]. Если существует предел последовательности

интегральных сумм Sn

при λ → 0 (и n → ∞ ) и не зависящего от способа разбиения отрезка,

то он называется определенным интегралом от функции

f (х) на отрезке [а;b]. Функция

f (х) называется интегрируемой на [а;b].

Обозначается: lim Sn

n−1

xi =

b

=

lim

∑ f (ξi )

∫ f (x)dx ,

λ→0

max

xi →0 i=0

a

где a – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция y = f (x)

непрерывна и неотрицательна на [а;b]. Произведение

f (ξi ) xi

численно равно площади прямоугольника, имеющего основание [xi ; xi+1 ] и высоту

f (ξi ) .

Построив на каждом отрезке [xi ; xi+1 ] такой прямоугольник, получим ступенчатую фигуру,

n−1

площадь которой равна интегральной сумме Sn

= ∑ f (ξi )

xi .

10. Постоянный множитель можно

выносить

за

знак определенного интеграла, т.е.

b

b

∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx ,

A = Const , если эти интегралы существуют.

a

a

Действительно,

b

n−1

xi = =

n −1

b

∫Af (x)dx = lim

∑Af (ξi )

lim

A ∑ f (ξi )

xi = A∫ f (x)dx .

a

max

xi

→0 i =0

max xi

→0 i =0

a

b

b

b

∫( f1(x) + f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx

a

a

a

если f1 (х) и f2 (х)

- интегрируемые на [а;b] функции.

b

n−1

Так как ∫( f1(x) + f2 (x))dx =

lim

∑

( f1 (ξi ) + f2 (ξi )) xi

=

a

max xi →0 i=0

n−1

n−1

b

b

= maxlimx →0

∑ f1(ξi ) xi + maxlimx →0

∑ f2 (ξi ) xi = ∫ f1 (x)dx + + ∫ f2 (x)dx .

i

i=0

i

i=0

a

a

30. Если на отрезке [а;b], где а < b , интегрируемые функции

f (x) и g(x) удовлетворяют

b

b

условию f (x) ≤ g(x) , то ∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .

a

a

Действительно, если рассмотреть разность

b

b

b

∫g(x)dx − ∫ f (x)dx = ∫(g(x) − f (x))dx ,

a

a

a

то, поскольку g(х) − f (х) ≥ 0

х [а; b],

то,

по геометрическому смыслу определенного

b

b

b

интеграла, ∫(g(x) − f (x))dx ≥ 0

∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .

a

a

a

b

отрезке [а;b] и а ≤ b , то m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

b

b

b

b

b

n−1

Поскольку ∫mdx = m∫dx = m

lim

∑ xi = m(b −a) .

a

a

max xi

→0 i=0

b

b

Аналогично,

∫Mdx = M (b − a) m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

a

Если f (x) ≥ 0 , то SaA B b ≤ SaABb ≤ SaA B

b (рис. 4.4.3).

1

1

2

2

y

A2

B2

M

A

B

m

A1

B1

x

a

b

Рис. 4.4.3

50. Теорема о среднем. Если f (x)

- непрерывна на отрезке [а;b], то существует точка

ξ [а;b] такая, что справедливо равенство

b

∫ f (x)dx = (b − a) f (ξ) .

a

Доказательство. Пусть для определенности а < b и m ≤ f (x) ≤ M . Тогда

b

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a)

: (b − a)

a

1

b

1

b

m ≤

∫ f (x)dx≤ M , обозначим

∫ f (x)dx = μ, тогда m ≤ μ ≤ M .

b

− a

b

−a

a

a

Так как f (x)

заключенные между m и M .

- непрерывна, то она принимает все значения,

ξ [a;b],

1

b

Следовательно,

такое,

что

f (ξ) = μ,

т.е.

f (ξ) =

∫ f (x)dx

и

b −a

a

b

ξ [a;b].

∫ f (x)dx = (b − a) f (ξ) , где

a

b

a

60. Из определения определенного интеграла ∫ f (x)dx

= −∫ f (x)dx .

а

b

b

c

b

70. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство ∫ f (x)dx

= ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,

a

a

c