Решение

Ранг матрицы системы r(A)=2, ранг расширенной матрицы r(B)=2 число неизвестных n=4. Так как r(A)=r(B)<n, то по теореме Кронекера – Копелли система имеет бесконечно много решений. Найдем все эти решения. Для этого запишем СЛАУ, которая соответствует полученной расширенной матрице:

свободных неизвестных k определяется по формуле: k=n-r(A). Множество всех решений системы можно записать в виде:

1.2.4. Однородные системы

Однородная СЛАУ m уравнений с n записывается в виде:

a11x1 + a12 x2 +K+ a1nxn = 0a12x1 + a22x2 +K+ a2nxn = 0

LLLLLLLLLLLLL.

am1x1 + am2 x2 +K+ amnxn = 0

Однородная СЛАУ всегда совместна, она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение:

x1 = 0, x2 = 0,K, xn = 0 .

В любой однородной СЛАУ r(A)=r(B)=n, так как расширенная матрица B отличается от матрицы A только нулевым столбцом. При этом:

•если у однородной СЛАУ r(A)=r(B)=n, то она имеет только нулевое решение;

•если у однородной СЛАУ r(A)=r(B)<n, то она имеет ненулевые решения.

Если матрица A однородной системы – квадратная, то однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда A = 0.

Определение 1.2.1

Пусть однородная СЛАУ имеет k ненулевых решений X1, X2,K, Xk . Эти решения образуют

фундаментальную систему, если любое решение системы X , можно представить в виде:

X = c1 X1 + c2 X 2 +K+ cn X k .

Следует иметь в виду, что число решений в фундаментальной системе k равно числу свободных неизвестных и определяется по формуле: k=n-r(A), где n - число неизвестных, а r(A) ранг матрицы системы.

Задача 1.2.6

13