При откладывании от общего начала коллинеарные векторы лежат на одной прямой. Если хотя бы один из двух векторов – нулевой, то эти два вектора коллинеарны. Коллинеарные векторы направлены одинаково, когда один вектор получен из другого умножением на положительное число. Коллинеарные векторы направлены в противоположно, когда один вектор получен из другого умножением на отрицательное число.
Задача 1.3.2
r |
|
− 2 |
|
r |
|
8 |
|
0,25 |
|
|
|
||
Являются ли векторы a |
= |
|
и b |
= |
−1 линейно независимыми? |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
Поскольку b = −4 a , то векторы a и b коллинеарны и, следовательно, линейно зависимы.
Определение 1.3.5
Три линейноr rзависимых вектора называются компланарными.
Векторы a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда один из них можно представить в
виде линейной комбинации двух других, например: ar = αb +βcr.
При откладывании от общего начала компланарные векторы лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из трёх векторов нулевой, то эти три вектора компланарны. Если какие-то два из трёх векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.
Задача 1.3.3
Являются ли векторы a , b и a +b линейно зависимыми?
Решение
Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, эти три вектора всегда лежат в одной плоскости (компланарны). Следовательно, они линейно зависимы.
1.3.3. Размерность и базис линейного пространства. Линейная зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве
Определение 1.3.6
Базисом в линейном пространстве называется такой набор векторов e1 , e2 ,..., en , что любой
вектор x этого пространства можно и притом единственным способом представить в виде линейной комбинации x = x1e1 + x2e2 +... + xnen этих векторов с произвольными коэффициентами
x1, x2,..., xn .
Последняя формула называется разложением вектора x по базису e1 , e2 ,..., en , а числа x1, x2,..., xn координатами xr в этом базисе.
Оказывается, что если в линейном пространстве существует базис из конечного числа векторов, то и любой другой базис этого пространства состоит из точно такого же числа векторов.
Определение 1.3.7
Максимальное число линейно не зависимых векторов линейного пространства называется его
размерностью.
В полученной линейной однородной системе ранги матрицы и расширенной матрицы системы, равные n меньше числа неизвестных n +1. Следовательно, система имеет ненулевые решения и векторы ev1, ev2 ,...,evn , en+1 линейно зависимы.
16