ЗАМЕЧАНИЕ
Матрицы A и A−1 - коммутативны. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обратная матрица A−1 определена |
|
только |
|
для квадратных невырожденных матриц |
и |
||||||||
вычисляется по формуле: A−1 = |
|
|
1 |
|
|
CT |
, |
где |
|
A |
|
- определитель матрицы A, а матрица |
C |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(союзная матрица) получается из матрицы A заменой всех ее элементов на алгебраические дополнения.
Задача 1.1.4
− 2 |
2 |
−3 |
||
|
2 |
−1 |
2 |
|
Найти матрицу, обратную к матрице A = |
. |
|||
|
3 |
−1 |
3 |
|
|
|
|||
Решение
Определитель матрицы A = −1 ≠ 0 . Вычислим алгебраические дополнения для ее элементов и составим союзную матрицу.
|
A = |
|
−1 2 |
|
|
= −1 , A = − |
|
2 2 |
|
|
= 0 , A = |
|
2 −1 |
|
=1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
|
−1 3 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A = − |
|
2 −3 |
|
= −3 , A = |
|
− 2 −3 |
|
= 3, A = − |
|
− 2 2 |
|
= 4 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A = |
|
2 −3 |
|
|
=1 , A = − |
|
− 2 −3 |
|
= −2 , A = |
|
− 2 2 |
|
|
= −2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
2 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 3 |
|
4 |
|
|
, CT = |
|
0 |
|
3 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 = |
|
0 |
|
−3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Тогда обратная матрица: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
− 4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
− 2 2 |
−3 1 |
|
3 −1 |
1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверка. A A−1 |
|
|
|
2 |
|
−1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
−3 |
2 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
−1 3 |
|
|
−1 |
|
− 4 2 |
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1.1.4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования в матрице
Минором k - ого порядка матрицы называется определитель, который получится на пересечении k ее строк и k столбцов.
|
1 |
4 |
2 |
|
||
|
−1 |
0 |
3 |
|
||
Например, в матрице |
|
|||||
|
−4 |
3 |
2 |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||
порядка, а определитель |
|
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
− 2 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
4 |
является ее минором второго |
определитель |
||||
− 2 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
- минором третьего порядка.
7