ЗАМЕЧАНИЕ 1
Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первый сомножитель, и столько столбцов, сколько имеет второй сомножитель.
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Из определения умножения матриц следует, что элемент cij в матрице C является суммой произведений соответствующих элементов i - й строки матрицы A и j - го столбца матрицы B . На рисунке 1 схематично показано получение элемента c11 в произведении матриц.
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
|
• |
|
• |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
• |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
− 2 |
|
Найдите произведение матриц в том порядке, в котором оно определено |
A = |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для заданных матриц определено только произведение A B . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
− 2 |
3 |
|
|
|
|
2 (− |
2)+ |
0 |
2 3 + 0 |
|
|
|
|
||
|
A B = |
|
−1 |
− 2 |
|
= |
|
−1 |
(− 2) |
+ (− 2) 4 −1 3 − 2 (−1) |
|
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 −5 |
|
4 |
−1 |
|
|
|
3 |
(− 2)−5 4 |
3 3 −5 (−1) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЗАМЕЧАНИЕ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае |
A B ≠ B A , |
даже если оба произведения матриц A B и B A определены. |
||||||||||||||||||
Матрицы, для которых выполняется условие A B = B A , называются коммутативными.
1.1.2. Определители
Каждой квадратной матрице A можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обозначается A или detA.
Определитель второго порядка
|
a |
a |
|
|
Для матрицы второго порядка |
11 |
12 |
|
определитель (определитель второго |
A = a |
a |
|
||
|
21 |
22 |
|
|
порядка) вычисляется по правилу:
4