M 0 (1, 2, 0) принадлежит прямой. Нормальные векторы плоскостей, задающих прямую:
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−1 |
и n2 = |
. Тогда направляющий вектор прямой равен их векторному произведению |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 −1 −1 |
= −3 j + 3k = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
s = n1 , n2 |
|
|
−3 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид |
x −1 |
= |
|
y − 2 |
= |
z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
0 |
−3 |
3 |
||||||||||||||||||
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x0 + mt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ nt , а плоскость уравнением |
|||||||
|
Пусть прямая задана параметрическими уравнениями y = y0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ p t |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z0 |
|
|
|
|
|||||
A x + B y + C z + D = 0.
Угол между прямой и плоскостью
Из рис. 1.6.12 ясно, что для угла ϕ между прямой и плоскостью справедлива формула:
sin ϕ = cos α = |
|
(n, s) |
= |
|
Am + B n + Cp |
. |
||
|
|
|
A2 + B2 + C 2 m2 + n2 + p2 |
|||||
n |
|
s |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αϕ
Рис. 1.6.12.
Условие параллельности прямой и плоскости.
|
|
= 0, или |
Am + B n +C p = 0. |
n s , или n , s |
|||
|
|
|
|
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. n 
s , или mA = Bn = Cp .
Задача 1.6.18
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (−1, 2,−3) и перпендикулярной
прямой, заданной уравнениями |
x |
= |
y + 2 |
= |
z + 2 |
. |
−5 |
2 |
|
||||
|
|
|
−3 |
|||
|
|
|
|
58 |
|
|
Решение
−5
Из рисунка 1.6.13 видно, что направляющий вектор прямой s = 2 перпендикулярен
−3
плоскости, и его можно взять в качестве ее нормального вектора.
s
M 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.6.13. |
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
в |
|
уравнение |
плоскости |
с |
нормальным |
вектором |
|||||||||||
A(x − x0 )+ В(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0 координаты точки M 0 и координаты вектора s , получим |
||||||||||||||||||
|
|
|
−5(x +1)+ 2( y − 2)− 3(z + 3)= 0, или −5x + 2y − 3z −18 = 0. |
|
||||||||||||||
Точка пересечения прямой и плоскости |
|
|
|
|
||||||||||||||
Точка |
пересечения |
прямой |
|
|
и |
плоскости |
находится |
из |
решения |
системы |
||||||||
|
x = x |
|
+ mt |
|
|
|
x = x0 + mt |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y = y0 + nt |
, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
прямой, |
||||
|
z = z0 + pt |
y = y0 + nt – параметрические |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z = z0 + pt |
|
|
|
|
|
||||||
A x + B y +C z + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение плоскости. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Задача 1.6.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 (−1; − 2; 2,5) относительно |
|
|
|||||||
Найдите |
точку, |
симметричную |
|
точке |
прямой, |
заданной |
||||||||||||
каноническими уравнениями |
|
x − 4 |
= |
|
y |
= |
z + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точка M , симметричная точке |
|
M 0 |
относительно |
заданной |
прямой |
l , |
лежит |
на прямой |
||||||||||
M 0M , |
перпендикулярной прямой |
l . |
При этом точка пересечения прямых |
O делит отрезок |
||||||||||||||
M 0M пополам (рис.1.6.14).
Если провести через точку M 0 плоскость α, перпендикулярную прямой l , то прямая M 0M будет лежать в этой плоскости. Для плоскости α нормальным вектором является направляющий
|
1 |
|
|
2 |
|
вектор прямой l , то есть вектор s = |
. Уравнение плоскости α: |
|
|
− 2 |
|
|
|
1(x +1)+ 2(y + 2)− 2(z − 2,5)= 0 , x + 2y − 2z +10 = 0. 59