Любым элементам x и y этого множества поставлен в соответствие элемент z этого множества, который обозначается z = x + y и называется суммой элементов x и y .

Любому элементу x множества X и любому числу α ставится в соответствие элемент u этого множества, который обозначается u = αx и называется произведением элемента x на число α .

Указанные операции сложения и умножения на число подчинены следующим аксиомам:

1)x + y = y + x , для любых элементов x и y ;

2) (x + y)+ z = x + (y + z), для любых элементов x , y и z ;

3) существует нулевой элемент 0 , такой, что x + 0 = x для любого элемента x ;

4) для любого элемента x существует противоположный элемент (− x), такой, что x + (− x)= 0 ;

5)1 x = x , для любого элемента x ;

6)α(βx)= (αβ)x , для любого элемента x и любых чисел α и β;

Наиболее важным примером линейного пространства является конечномерное линейное

x1

пространство Rn с элементами (векторами) вида xv = x2 . Координатами вектора xv называются

...xn

значения x1, x2 ,..., xn . Легко понять, что при сложении (или вычитании) векторов конечномерного

пространства Rn складываются (или вычитаются) их одноименные координаты, а при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Если координат мало, то их не нумеруют, а обозначают различными буквами (обычно x, y и z).

1.3.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.

Определение 1.3.2

Пусть даны несколько векторов e1, e2 ,..., en линейного пространства и такое же количество

чисел α1, α2, … ,αn , поставленных им в соответствие (по порядку номеров). Если каждый вектор умножить на «своё» число, а затем сложить векторы, получившиеся в результате умножений, то

получится вектор α1e1 + α2 e2 +... + αn en , который называется линейной комбинацией данных

независимыми. Если линейная комбинация α1e1 + α2 e2 +... + αn en окажется равной нулевому вектору при наборе коэффициентов α1, α2 ,..., αn , из которых хотя бы одно отлично от нуля, то

векторы e1 , e2 ,..., en называются линейно зависимыми.

Из определения следует, что если arb , то ar = α b или b = α ar , где α R .

15