Задача 1.2.4
x1 + x2 + x3 = 6
− 2x − x + 4x = 8
Решите систему методом Гаусса 1 2 3 .
3x1 + 2x2 − x3 = 4
Решение
1 шаг – формирование первого столбца.
Первую строку, умноженную на (2), прибавим ко второй строке, первую строку, умноженную на (-3) и прибавим к третьей строке расширенной матрицы. После этого все элементы первого столбца матрицы, кроме первого окажутся равными нулю.
|
|
x1 |
x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
(2)(−3) |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
6 |
|
1 |
1 |
1 |
|
6 |
|
||||||||
|
−2 |
−1 4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
6 |
|
20 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
−1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
−1 − 4 |
|
−14 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 шаг – формирование второго столбца.
Вторую строку, умноженную на (-1), прибавим к первой строке, вторую строку прибавим к третьей строке расширенной матрицы. После этого все элементы второго столбца матрицы, кроме диагонального, окажутся равными нулю.
|
x1 x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 x3 |
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
1 |
|
6 |
|
|
|
1 |
0 |
−5 |
|
−14 |
|||
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
1 |
6 |
|
20 |
|
|
|
|
0 |
1 |
6 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
~ |
|
|
(1) (−1)~ |
|
|
|||||||||||
|
0 |
−1 |
− 4 |
|
−14 |
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
3 шаг – формирование третьего столбца.
Третью строку разделим на 2, чтобы ее диагональный элемент равнялся нулю. После этого третью строку, умноженную на (-6), прибавим ко второй и третью строку, умноженную на 5, прибавим к первой строке.
|
x1 x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
x x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
0 |
−5 |
|
−14 |
|
|
1 |
0 |
−5 |
−14 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
~ |
0 |
1 |
6 |
|
20 |
|
~ |
|
0 |
1 |
6 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
~ |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
2 |
|
6 |
|
: (2) |
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
(− |
|
6)( |
|
5) |
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение системы, которая соответствует полученной расширенной матрице, очевидно
x1 =1 |
|
x2 |
= 2 . |
x |
= 3 |
3 |
|
Теорема Кронекера – Копелли
Для того, чтобы СЛАУ m уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы r(A) был равен рангу расширенной матрицы r(B).
При этом: если r(A)=r(B)=n, то система имеет единственное решение, если r(A)=r(B)<n, то система имеет бесконечно много решений.
Задача 1.2.5
x1 − 2x2 + x3 − x4 = 4 |
|||
Решите систему уравнений 2x1 −3x2 + 4x3 + x4 = 2 . |
|||
x |
−3x |
− x |
−4x =10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
12