- •1. Краткая история
- •2. Каноническая форма
- •3. Максвелла уравнения в интегральной форме
- •4. Общая характеристика Максвелла уравнений
- •5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд
- •6. Алгебраические Максвелла уравнения
- •7. Материальные уравнения
- •8. Граничные условия
- •9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений
- •10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении
- •11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений
- •12. Лагранжиан для электромагнитного поля
- •13. Единственность решений Максвелла уравнений
- •14. Классификация приближений Максвелла уравнений
- •I. Токи смещения. Опыт Эйхенвальда.
- •II. Система уравнений Максвелла.
- •1. Уравнение Максвелла в интегральной форме.
- •2. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.
- •3. Материальные уравнения.
- •4. Свойства уравнений Максвелла.
- •III. Роль уравнений Максвелла и границы их применимости.
2. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.
Уравнения (3-6) записаны в интегральной форме. Гораздо чаще используется дифференциальная форма записи этих уравнений, которая позволяет описать электромагнитное поле в любой точке (точнее в любом элементарном объёме) пространства. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме легко получаются из уравнений (3-6) путём применения известных из векторного анализа теорем Остроградского-Гаусса и Стокса, устанавливающих связь между линейными, поверхностными и объёмными интегралами:
Теорема Остроградского-Гауса связывает объёмный интеграл с поверхностным |
, |
где – скалярная функция – дивергенция (расхождение):
Теорема Стокса связывает поверхностный интеграл с линейным |
, |
где – векторная функция – ротор (вихрь):
С учётом вышеизложенного уравнения (3-6) принимают вид:
Т.к. объёмы и поверхности, по которым происходит интегрирование произвольны, то можно приравнять подынтегральные функции и получить уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме |
(7) (8) (9) (10) |
3. Материальные уравнения.
Уравнения Максвелла ещё не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Для этого необходимо дополнить соотношения, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды. Для случая изотропных сред (не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков) они имеют следующий вид:
(11)
С учётом соотношений (11) система уравнений является полной и позволяет описывать все электромагнитные процессы в вакууме и веществе.
4. Свойства уравнений Максвелла.
А. Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей и по времени и пространственным координатам, а так же первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов γ. Свойство линейности уравнений непосредственно связано с принципом суперпозиции.
Б. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда:
В. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчёта. Они являются релятивистски-инвариантными, что подтверждается опытными данными.
Г. О симметрии уравнений Максвелла.
Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов. Вместе с тем в нейтральной однородной среде, где ρ = 0 и ,уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е. так связано с , как с .
Различие только в знаках перед производными и показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного уменьшением поля , образуют с вектором левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменением , образуют с вектором правовинтовую систему. |
Д. Об электромагнитных волнах.
Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение электрического поля, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счёт непрерывного взаимопревращения они и должны сохранятся. Поля такого рода называются электромагнитными волнами. Выяснилось также, что ток смещения играет в этом явлении первостепенную роль.