- •1. Краткая история
- •2. Каноническая форма
- •3. Максвелла уравнения в интегральной форме
- •4. Общая характеристика Максвелла уравнений
- •5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд
- •6. Алгебраические Максвелла уравнения
- •7. Материальные уравнения
- •8. Граничные условия
- •9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений
- •10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении
- •11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений
- •12. Лагранжиан для электромагнитного поля
- •13. Единственность решений Максвелла уравнений
- •14. Классификация приближений Максвелла уравнений
- •I. Токи смещения. Опыт Эйхенвальда.
- •II. Система уравнений Максвелла.
- •1. Уравнение Максвелла в интегральной форме.
- •2. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме.
- •3. Материальные уравнения.
- •4. Свойства уравнений Максвелла.
- •III. Роль уравнений Максвелла и границы их применимости.
10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении
Придавая времени t смысл четвёртой координаты и представляя её чисто мнимой величиной (см.Минковского пространство-время), можно заключить описание электромагнетизма в компактную форму. Эл.-магн. поле в 4-описании может быть задано двумя антисимметричными тензорами
где -Леви-Чивиты символ, лат. индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а греческие - 1, 2, 3. В 4-век-торе тока объединены обычная плотность тока je и плотность электрич. заряда
аналогично вводят 4-вектор магн. тока.
В этих обозначениях M. у. допускают компактное 4-мерное представление:
Взаимной заменой векторов поля и индукции в ф-лах (13),(14) вводятся тензоры индукции эл.-магн. поля
через к-рые также могут быть записаны M. у.:
Любая пара тензорных ур-ний, содержащая в правых частях оба 4-тока (электрич. и мат.), тождественна системе M. у. Чаще используют пару ур-ний (15 а), (18), при этом материальные ур-ния сводятся к функциональной связи между тензорами (последний чаще обозначают через.
Из антисимметрии тензоров поля, индукции и M. у. в форме (17) - (18) следует равенство нулю 4-дивергенций 4-токов:
к-рое представляет собой 4-мерную запись ур-ний непрерывности для электрич. (магн.) зарядов. T. о., 4-векторы токов являются чисто вихревыми, и соотношения (17), (18) можно рассматривать как их представление в виде 4-роторов соответствующих тензоров. Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мерное описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом О) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гипербодич. сигнатура в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантныекомпоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и контравариантность).
11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений
Все экспериментально регистрируемые эл.-динамич. явления удовлетворяют относительности принципу. Вид M. у. сохраняется при линейных преобразованиях, оставляющих неизменным интервал и составляющих 10-мернуюПуанкаре группу:4 трансляции , 3 пространственных (орто-) поворотаи 3 пространственно-временных (орто-хроно-) поворота, иногда называемых ло-ренцевыми вращениями. Последние соответствуют перемещениям системы отсчёта вдоль осейxa с пост, скоростямиВ частности, дляполучается простейшая разновидностьЛоренца преобразований:
, где Соответственно поля преобразуются по правилам:
Релятивистски-ковариантная запись M. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты электромагнитного поля). Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты:
В-третьих, это потенциальные инварианты:
где - магн. потенциалы (получающиеся изА е и преобразованием перестановочной двойственности), источниками к-рых являются магн. токиjm и заряды . И, наконец, многочисл. коыбиниров. инварианты типаи им подобные. Число таких комбиниров. инвариантов (квадратичных, кубичных и т. д.) по полям н источникам неограниченно.