7.11. Плотность распределения

Закон распределения дискретной случайной величины показывает, насколько одно значение более вероятно, чем другое.

Нужна подобная характеристика и для непрерывной случайной величины.

К сожалению, для непрерывной случайной величины мы не можем опираться на классическое определение вероятности, т.к. количество элементарных исходов бесконечно, а вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо конкретное значение х₀ , исчезающе мала:

P(X=x₀) = P(x₀)  0 .

Поэтому прибегнем к «хитрости», которой мы пользовались при рассмотрении доски Гальтона.

На оси возможных значений случайной величины X выбирается точка х₀.

Рассмотрим малый интервал x, включающий в себя интересующее значение х₀

,

а также вероятность попадания в него случайной величины X

В записи мы будем использовать разные буквы для самой случайной величины и для её возможных значений: сама случайная величина – большой буквой X, а её значения – маленькими.

Начнём теперь сокращать протяжённость интервала x

x  0 .

При этом вероятность также начнёт уменьшаться, стремясь к нулю

0 .

Рассмотрим отношение этих двух величин

=

Несмотря на то, что и числитель, и знаменатель в этой дроби одновременно будут стремиться к нулю, дробь будет стремиться к некоторой фиксированной величине:

p(x₀).

При рассмотрении доски Гальтона мы дали этой величине название: плотность вероятности.

Теперь пришла пора обратить внимание на то, что полученная величина зависит от значения точки х₀, поэтому в общем случае она является функцией координаты p(x). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство её ещё называют плотность распределения вероятности или, более кратко, плотность распределения.

Полезное свойство плотности распределения p(x) для нас заключается в том, что она позволяет сравнивать вероятности попадания случайной величины в интервалы в окрестности различных точек.

Значения случайной величины, имеющие большие значения p(x), более вероятны, чем значения с малыми значениями p(x).

Так на рисунке значение x₁ более вероятно, чем x₂ , потому что p(x₁) > p(x₂).

Зададимся вопросом: какова единица измерения функции плотности распределения вероятности, откладываемой по вертикальной оси?

Ответ находим в способе её получения.

Нами рассматривалась дробь, в числителе которой была вероятность, не имеющая размерности, а в знаменателе – отрезок по оси x. Если по оси откладывается величина имеющая, например, размерность «метры», то дробь даст размерность «1/метр».

Таким образом, единица измерения плотности вероятности будет обратной по отношению к единице измерения по оси x.

7.12. Свойства плотности распределения

Свойства плотности распределения следующие.

1. p(x) – неотрицательная функция,

p(x)  0 ,

т.к. это вероятность, вероятность попадания случайной величины в бесконечно малый отрезок, отнесённая к длине этого отрезка.

И вероятность, и длина – величины неотрицательные.

2. Площадь, заключённая между кривой функции p(x) и осью x равна единице.

Как мы можем определить площадь фигуры, заключённой между кривой и осью x?

Это можно сделать в четыре шага:

1. Разбиваем фигуру на достаточно мелкие клетки одинакового размера.

2. Приблизительно считаем количество клеток.

3. Вычисляем площадь каждой клетки как произведение горизонтально стороны на вертикальную. Полученная величина будет безразмерной, т.к., если по горизонтальной оси единица измерения – «метр», то по вертикальной – «1/метр». Произведение «метр» на «1/метр» даёт безразмерную величину.

4. Умножаем площадь клетки на их количество.

Для повышения точности определения площади надо делать клетки как можно мельче. Математики установили, что при разбиении на бесконечно маленькие клетки, площадь фигуры в точности равна 1.

3. Вероятность попадания случайной величиныX в интервал от a до b равна площади, которая отсекается от фигуры, заключённой между кривой p(x) и горизонтальной осью, двумя вертикальными линиями через точки a и b

Полученное значение будет лежать в пределах от 0 до 1, т.к. вся площадь равна 1.