Санкт-Петербургский юридический институт
(филиал) Академии Генеральной прокуратуры Российской Федерации
Предмет: «Информационные технологии в юридической деятельности»
Раздел: «Статистический анализ»
Конспект лекций
Составитель: доцент Сибаров К.Д.
Лекция 6
Тема 7. Случайность, статистика, вероятность (продолжение)
Вопросы
7.10. Закон распределения.
7.11. Плотность распределения.
7.12. Свойства плотности распределения.
7.13. Равномерно и нормально распределённые случайные величины.
7.14. Среднее арифметическое.
7.15. Математическое ожидание дискретной случайно величины.
7.16. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
Санкт-Петербург
2012
Тема 7. Случайность, статистика, вероятность (продолжение)
7.10. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Поговорим поподробнее о дискретной случайной величине.
Дискретная случайная величина принимает в опыте одно из своих возможных значений.
Для того чтобы охарактеризовать то, насколько часто случайная величина принимает какое-то значение, можно рассмотреть вероятность этого значения.
Рассмотрим простейший опыт с дискретной случайной величиной: бросание игрального кубика.
В этом опыте случайно количество очков, выпадающих на верхней грани кубика. Это – случайная величина, и у неё имеется 6 возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Очевидно, что если кубик правильной формы, то все грани выпадают с одинаковой вероятностью.
Чему равна эта вероятность?
Игральный кубик – это идеальный пример для пояснения классического определения вероятности: количество исходов конечно – 6, исходы равновозможны.
Вероятность каждого исхода
= 1/6 .
Или в виде таблички:
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
P(Ai) |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Изобразим полученное соответствие между возможными значениями и их вероятностями в виде графика. (На графике принято, что 1/6 0,17.)
Теперь познакомимся с одним из основных понятий, используемых в теории вероятности.
Законом распределения вероятности или просто законом распределения называется соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями.
Особая важность этого понятия в том, что закон распределения несёт в себе всю информацию о дискретной случайной величине.
Закон распределения может быть задан различными способами: графиком, таблицей, формулой.
Формула для нашего простейшего случая будет следующая:
P(i) = 1/6, при i = 1, 2, …, 6 .
Основное свойство закона распределения:
сумма значений закона распределения равна единице.
Для нашего примера это:
P(1) + P(2) + … + P(6) = 1.
Ещё более простой пример: бросание монеты.
Если присвоить числовые значения сторонам монеты: «орлу» - 0, а «решке» - 1, то в качестве случайной величины можно рассмотреть число, соответствующее верхней стороне брошенной монеты.
Закон распределения для монеты графически будет выглядеть так:
Высоты столбиков одинаковы, т.к. значения равновероятны.
Рассмотрим теперь более сложный пример, такой, в котором возможные значения случайной величины будут неравновероятными: сумма очков при двукратном бросании монеты.
«Орёл» принимаем за 0, «решку» – за 1.
В опыте возможно выпадение обоих «орлов», т.е.
ОО
Тогда сумма будет равна 0.
Возможно выпадение первого «орла», второй «решки» или наоборот: первой «решки», а второго «орла», т.е.
ОР или РО
В обоих случаях сумма будет равна 1.
И ещё возможно выпадение обеих «решек»
РР
Сумма будет равна 2.
Таким образом, сумма очков при двукратном бросании монеты – это случайная величина с тремя возможными значениями: 0, 1, 2.
Вероятности этих значений можно определить, используя классическое определение вероятности.
Все 4 элементарные исходы двукратного бросания – равновозможны.
Значение суммы 0 возникает 1 из 4 возможных исходов. Поэтому можем записать:
P(0) = 1/4,
где 1 – это количество элементарных исходов, соответствующих значению суммы, равному 0; 4 – это общее количество элементарных исходов.
Значение суммы 1 возникает при 2 из 4 возможных исходов, поэтому
P(1) = 2/4 = 1/2 .
Значение суммы 2 возникает при 1 из 4 возможных исходов.
P(2) = 1/4 .
Рисуем график закона распределения
Для этого примера снова убеждаемся в справедливости основного свойства закона распределения:
P(0) + P(1) + P(2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 .