6.4.Регрессионный анализ

Как и корреляционный анализ, регрессионный включает в себя построение уравнения регрессии (например, методом наименьших квадратов) и статистическую оценку результатов.

При проведении регрессионного анализа принимаются следующие допущения:

1.Входной параметр х изменяется с весьма малой ошибкой. Появление ошибки в определении у объясняется наличием в процессе не выявленных переменных и случайных воздействий, не вошедших

вуравнение регрессии.

2.Результаты наблюдений выходной величины – независимые нормально распределенные случайные величины.

3.При проведении параллельных опытов выборочные дисперсии должны быть однородны. При выполнении измерений в различных условиях возникает задача сравнения точности измерений, а это

возможно осуществлять при наличии однородных дисперсий (т.е. принадлежности экспериментальных данных к одной генеральной совокупности).

После того, как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов. Этот анализ состоит в установлении адекватности уравнения и проверке значимости коэффициентов уравнения.

6.4.1. Проверка адекватности модели

Регрессионная модель называется адекватной, если предсказываемые по ней значения у согласуются с результатами наблюдений. Так, построив линейную модель, мы хотим убедиться, что никакая другая модель не даст значительного улучшения в описании предсказания значений у. В основе процедуры проверки адекватности модели лежат предположения, что случайные ошибки наблюдений являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями.

Сформулируем нуль-гипотезу Н0: «Уравнение регрессии адекватно».

119

достоверности осуществляется не одно, а m параллельных опытов (примем, что это число одинаковым для каждого фактора). Тогда общее число экспериментальных значений величины у составит

N=n*m.

В этом случае оценка адекватности модели производится

120

6.4.2. Проверка значимости коэффициентов уравнения

параметра.

Наиболее просто построить доверительные интервалы для

0

коэффициентов линейного уравнения регрессии, т.е. коэффициенты

.

Для линейного уравнения среднеквадратическое отклонение i-ого

121

Стьюдента. При этом в качестве нуль-гипотезы проверяется: i-ый коэффициент уравнения регрессии отличен от нуля.

Построим доверительный интервал для коэффициентов

по соотношению n-l. Потеря l=k+1 степеней свободы обусловлена тем, что все коэффициенты рассчитываются зависимо друг от друга.

Тогда доверительный интервал для каждого из коэффициентов

о значимости этого коэффициента.

Основное правило при построении доверительного интервала для

коэффициентов: «Если абсолютная величина коэффициента

регрессии больше, чем его доверительный интервал, то этот коэффициент значим». Другими словами, если

Œ0 Œ g Œ10 Œ то 0

коэффициент значим, в противном случае – нет.

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а остальные коэффициенты пересчитываются заново, так как они зависимы и в формулы для их расчета входят разноименные переменные.

Задача сводится к определению критерия, позволяющего установить, принадлежать ли эти выборки одной генеральной совокупности?

122