Числовые характеристики экспоненциальной случайной величины:

2

mT 1/ ; DT 1/

Условия возникновения. Случайная величина T – интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем или пуассоновском потоке случайных событий, причем параметр распределения λ – интенсивность потока.

5.4.6.Нормальный закон распределения

Из всех изученных к настоящему времени случайных величин, наиболее часто при обработке экспериментальных данных исследователи используют нормальное (Гауссово) распределение. Отметим, что согласно центральной предельной теореме, которая гласит, что при определенных условиях распределение нормированной суммы n независимых случайных величин, распределенных по произвольному закону, стремится к нормальному при n стремящемся к бесконечности. Условия, при которых теорема оказывается справедливой, состоят в том, что различные случайные величины должны иметь конечные дисперсии и дисперсия любой случайной величины не должна быть слишком большой по сравнению с дисперсиями других.

При обработке экспериментальных данных эта теорема имеет очень большое значение, поскольку отклик является случайной величиной в результате влияния неконтролируемых факторов, число которых, в общем случае, стремится к бесконечности.

Следовательно, если при планировании эксперимента учтены все наиболее существенные факторы и затем, при проведении опытов, они контролируются, то при обработке экспериментальных данных можно предполагать, что отклик не должен противоречить нормальному закону распределения.

Большинство других распределений (Стьюдента, Фишера, Кохрена, Пирсона и др.), которые используются в математической статистике, получены на основе нормального распределения.

Но с другой стороны, нельзя абсолютизировать значение нормального закона. Не все случайные величины распределены по нормальному закону. Но если явление подвержено многим

76

случайным факторам, то их суммарное воздействие можно описать с помощью нормального закона.

Как отмечалось ранее, для случайной величины, не противоречащей нормальному закону, функция распределения

а соответствующая ей плотность распределения имеет вид:

распределения, которая называется нормальной кривой или кривая Гаусса.

Рис.5.4. Кривая Гаусса

Основные свойства нормального закона распределения:

77

5. Для нормального распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

В ряде случаев удобно рассматривать не саму случайную

величину, а ее отклонение от математическогоZ = Q ожидания:

@.

Такая случайная величина называется центрированной. Отношение случайной величины к ее среднему квадратическому

отклонению O@ называется нормированной случайной величиной.

Очевидно, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю, а дисперсия нормированной случайной величины – единице.

Приведенная (стандартная) случайная величина – это

центрированная и нормированнаяƒ случайная#Q величина

O@ @.

Математическое ожидание и дисперсия приведенной случайной величины равны соответственно, нулю и единице. Нормальное

приведенной случайной величины нормальное стандартное распределение принимает вид

78

… E‡ #‡u U… v7† #;

На рис. 5.5 показаны функция распределения и плотноcти нормального закона распределения вероятности.

Рис.5.5.Основные свойства нормального распределения Значения нормированной функции нормального распределения

величины вероятность того, что она примет такое значение, которое не будет отличаться от ее математического ожидания более чем на одно СКО, равна 0,68. Т.е. при нормальном распределении примерно

вероятность 0,997.

Следовательно, отличие какого-либо из значений нормально

распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью 0.99. Это свойство нормально распределенной случайной величины носит название «правило трех сигм».

5.4.7. Распределение χ2 (хи – квадрат)

Рассмотрим распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин, используемых в

случайной величиной χ2 (хи – квадрат) с одной степенью свободы.

80

Рассмотрим n независимых случайных величин Y1, Y2, ..., Yn, распределенных по нормальному закону с M(Yi) = ai и средними

степеней свободы. С возрастанием n распределение χ2 приближается к нормальному закону распределения (при n≥30 распределение χ2

рис.5.6.) была бы равна α.

81