Добавление двух сфер, образованных звездными точками и центральной точкой, к ПФЭ позволяет получить раздельные оценки b0 и bii. Все три сферы образуют композиционный план второго порядка.

В зависимости от критерия оптимальности плана, различают ортогональное, композиционное планирование и рототабельное композиционное планирование.

План, приведенный в табл. 4.6, является рототабельным и обеспечивает получение раздельных оценок b0 и bii.

4.11.Ортогональное центральное композиционное

планирование

Критерием оптимальности является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу этого свойства все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга.

Анализ результатов экспериментов при ортогональном композиционном планировании имеет некоторые особенности. Так оценки коэффициентов уравнения регрессии находятся с неодинаковой дисперсией.

Из-за неодинаковой дисперсии коэффициентов регрессии критерий ортогональности является недостаточно сильным критерием оптимальности для планирования второго порядка. Поэтому точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства неодинакова.

Лучшим методом планирования является такой метод, который обеспечивает одинаковую точность во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра. Таким методом является рототабельное композиционное планирование.

4.12. Рототабельное композиционное планирование

Критерием оптимальности в рототабельном планировании является условие σ y2 = const при одинаковом удалении точек

эксперимента от центра, т.е. R = const .

Если имеются двухфакторные планы, то , как уже было отмечено, типичными примерами рототабельных планов являются планы, представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной

50

точкой любого (n-1) - мерного правильного многоугольника, который можно вписать в круг (рис.4.8).

Композиционные центральные рототабельные планы также как и ортогональные состоят из трех сфер: сфера нулевого радиуса - центральные точки; сфера точек куба или гиперкуба и сфера звездных точек. Равномерность расположения точек на сфере приводит к вырожденным матрицам. Для устранения вырожденности используют сферу нулевого радиуса с несколькими центральными точками.

Таблица 4.7

где Nα - число звездных точек; N0 - число точек в центре эксперимента; Nc - количество точек куба (гиперкуба); N - общее число точек факторного пространства.

Матрица планирования рототабельного плана второго порядка для трехфакторного эксперимента будет представлена в таблице 4.8.

Таблица 4.8

51

Эксперимент проводится аналогично ПФЭ, однако оценки коэффициентов рассчитываются по своим формулам:

где Nw- число точек на сфере радиуса Pw ; k - число сфер (k=3). Проводится проверка значимости коэффициентов по t - критерию

Стьюдента. Оценки дисперсии и коэффициентов вычисляются по формулам:

Проверка адекватности модели проводится методом Фишера (будет рассмотрен ниже).

4.13.Планирование эксперимента при поиске

оптимальных условий

Во многих случаях инженерной практике перед исследователем ставится задача не только выявления связи между рядами наблюдений, но и нахождение таких численных значений факторов при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения. Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к

Разработано множество методов пошаговой оптимизации, мы же рассмотрим некоторые, которые эффективно используются в промышленном и лабораторном эксперименте.

4.13.1 Метод покоординатной оптимизации

Процесс поиска оптимума методом покоординатной оптимизации для двухмерного случая представлен на рис.4.12. По этому методу выбирается произвольная точка М0 и определяются ее координаты. Поиск оптимума осуществляется поочередным варьированием каждого из факторов. При этом сначала изменяют один фактор (x1) при фиксированных остальных до тех пор, пока не прекращается прирост функции отклика (точка М1). В дальнейшем изменяется другой фактор (x2) при фиксированных остальных, и далее процедура повторяется.

Данный метод весьма прост, однако при большом числе факторов требуется значительное число опытов, чтобы достичь координат оптимума. Однако, в некоторых случаях (см. рис.4.6) этот метод может привести к ложному результату. Поэтому далее рассмотрим более совершенные методы.

B6

B6 >B5 >B4

X′1 X′′1 X1

Рис.4.6. Поиск оптимума методом покоординатной оптимизации

53

4.13.2. Метод крутого восхождени я

Известно, что кратчайший путь – это движение по градиенту, т.е. перпендикулярно касательным к линиям уровня, на ко торых функция отклика принимает постоянные значения

В связи с эт им при оптимизации рабочее движение целесообразно совмещать в направлении наиб олее быстрого возрастания функции отклика, т.е. в направлении градиента функции. Существует несколько модификаций градиентного м етода, одним из них является метод к рутого восхождения. Сущность его отражена на рис.4.7.

В этом случае шаговое движение осуществляется в направлении наискорейшего возрастания функции отклика, т.е. grad y(x1,x2). Однако направление к орректируется не после следующего шага, а при достижении в нек оторой точке на данном направлении частного экстремума функции о тклика.

Рис. 4.7. Процедура оптимизации методом крутого восхождения.

Пусть в окрестност и точки Мо, как центра плана, поставлен ПФЭ 22. Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1-4. По результатам ПФЭ м ожно рассчитать коэффицие нты линейного уравнения регрессии:

После чего можно найти градиент

54

Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии в сторону, соответствующую знакам коэффициентов. В процессе поиска двигаются в этом направлении, пока не будет найден локальный максимум (т.М1). после чего находят направление градиента,

последовательности операций:

1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния (М0). Расчет коэффициентов линейной

4

производится на базе априорной информации и опыта исследователя. Следует учесть, что слишком малый шаг потребует значительного числа опытов, а большой – создает опасность проскакивания области

изменения отдельных факторов обеспечивает движение по градиенту в факторном пространстве.

определенными значениями шагов изменения факторов " - "* Находят координаты опытов 5,6,7. Часть этих

6. Составление плана движения по градиенту: в соответствии с

64 6 7

опытов проводят «мысленно». «Мысленный» опыт заключается в

55