Из оценки видно, что уменьшение доверительного интервала обратно пропорционально квадратному корню из числа наблюдений. Следовательно, если надо уменьшить возможную ошибку в два раза надо увеличить число наблюдений в 4 раза.

Если закон распределения оценки не известен, то в математической статистике применяют обычно два метода:

1)приближенный – при n более 50 заменяют неизвестные параметры их оценками;

2)от случайной величины a* переходят к другой случайной величине, закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит только от объема выборки n и от вида распределения величины Х. Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального закона. В качестве доверительных границ берут симметричные квантили

a*(1−β ) / 2 ≤ a ≤ a(*1+β ) / 2 ,

Если выразить через р,

На практике, как правило, число измерений конечно и не превышает _10…30. При малом числе измерений фактическая дисперсия неизвестна, поэтому для построения доверительного

интервала «математического ожидания используют выборочную

"l = 3

дисперсию и приведенную случайную величину: x ¹ ºv

t – случайная величина, имеющая распределение, отличное от нормального, зависящее от числа степеней свободы(t – распределение или распределение Стьюдента). При больших значениях n распределение Стьюдента приближается к стандартному

5.9. Определение необходимого количества опытов

Необходимое количество измерений (образцов, проб и т.д.) n можно определить заранее в том случае, когда известно действительное значение среднеквадратического отклонения, а

95

экспериментальные данные подчиняются нормальному закону распределения.

Действительно, при этих допущениях число измерений можно определить из системы неравенств:

Анализируя формулу доверительного интервала, можно заметить, что:

а) увеличение объема выборки n приводит к уменьшению длины доверительного интервала;

б) увеличение доверительной вероятности β приводит к

. Понятно ,что меньшему количеству отдельных измерений должен

5.10.Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез является одной из основных задач математической статистики. Суть этой задачи состоит в том, что на основании выборочных данных должно быть принять (или отвергнуто) некоторое предположение (статистическая гипотеза) относительно генеральной совокупности.

96

Процедура сопоставления гипотезы с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Задача статистической проверки ставится в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза Н. Из генеральной совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос, следует ли принять гипотезу Н, либо отклонить ее. Например, эффективнее ли лекарство, испытанное на определенном числе людей, по сравнению с другими способами лечения? Аналогичен вопрос о новых правилах приема в вуз, методах обучения, преимуществах новой разрабатываемой техники т.п.

Выдвигаемая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает задача ее проверки.

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы делятся на параметрические (гипотезы о параметрах распределения) и непараметрические (о виде неизвестного распределения)

Одну из гипотез выдвигают в качестве основной НО, а другую, являющуюся логическим отрицанием НО, т.е. противоположную НО, - в качестве конкурирующей (альтернативной) и обозначают Н1.

Имея две гипотезы НО и Н1 надо на основе выборки Х1, Х2, …Xn принять либо основную гипотезу НО, либо конкурирующую Н1.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу, называют статистическим критерием проверки

статистикой критерия.

Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия Tn разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую«l область S, т.е. область отклонения гипотезы Н0 и область принятия этой гипотезы. Если фактически полученное по выборке значение статистики критерия попадает в критическую область, то основная гипотеза Н0 отклоняется, и принимается альтернативная гипотеза Н1.

97

Если значение критерия попадает в «l, то принимается Н0, Н1 отклоняется.

При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух типов:

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза, когда на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза Н1, когда на самом деле она верна.

Вероятность ошибки первого рода (обозначается α) называется

уровнем значимости критерия³ :> É ŒÉ*

Чем меньше α, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку первого рода обычно задают заранее. Обычно для α используют стандартные значения α=0,05; 0,01; 0,005; 0,001.

Вероятность ошибки второго) > Éрода*ŒÉ (обозначается β):

Величину 1-β, т.е. вероятность недопущения ошибки второго рода (отвергнуть неверную гипотезу Н0, принять верную Н1),

называют мощностью критерия.

Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность ошибки второго рода.

Последствия ошибок 1-го, 2-ого рода совершенно различны: -применительно к радиолокации говорят, что α – вероятность

пропуска сигнала, β – вероятность ложной тревоги; -применительно к производству – α – риск поставщика (т.е.

забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), β – риск потребителя (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющих стандарту);

-применительно к судебной практике, ошибка 1-ого рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-ого рода - осуждению невиновного.

Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-ого и 2-ого рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

98