5.4.Типовые законы распределения

Для изучения основных законов распределения вероятностей

5.4.1.Геометрическое распределение

имеет дискретная случайная величина Х, если она принимает значения 0, 1, …, с вероятностями:

p( X i) pi q p,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики геометрического распределения:

mx =q p; Dx =q/ p2 .

Условия возникновения. Проводится ряд одинаковых независимых опытов до первого появления некоторого события А. Случайная величина Х – число проведенных безуспешных опытов до первого появления события А.

5.4.2.Биномиальное распределение

имеет дискретная случайная величина X, если она принимает

n

значения 0, 1, …, со следующими вероятностями nS S n = n S o#

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения:

mx np; Dx nqp.

72

Условия возникновения. Проводится n одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Случайная величина Х – число опытов, в которых произошло событие А.

5.4.3.Распределение Пуассона

где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской случайной величины: mx a, Dx a.

Условия возникновения:

1. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального, когда число опытов n неограниченно увеличивается, а вероятность p событияp%X A в одном опыте стремится к 0, так что

существует предел q:;

r:D np= a.

2. Случайная величина Х – число событий пуассоновского потока, поступивших в течение интервала , причем параметр а = τλ, где – интенсивность потока.

Рассмотрим временную ось, на которой будем отмечать моменты возникновения случайных событий (например, отказы компонентов в сложном техническом устройстве, заявки на обслуживание и т.п.). Последовательность таких моментов называется потоком случайных

событий.

Поток случайных событий называется стационарным, если число событий, приходящихся на интервал , в общем случае не зависит от расположения этого участка на временной оси и определяется только его длительностью, т.е. среднее число событий в единице времени (интенсивность потока) постоянно.

Поток случайных событий называется ординарным, если вероятность попадания в некоторый участок t двух и более случайных событий значительно меньше, чем вероятность попадания 1-го события. В потоке отсутствует последействие, если

73

вероятность попадания событий на участок не зависит от того, сколько событий попало на другие участки, не пересекающиеся с данным.

Поток случайных событий называется пуассоновским или простейшим, если он является стационарным, ординарным и без последействия.

5.4.4.Равномерное распределение

имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность вероятности в некотором интервале [а; b] постоянна, т.е. если все

Ниже приведен график плотности равномерного распределения.

f(x)

c

Рис.5.1. График плотности вероятности равномерного распределения

Числовые характеристики равномерно распределенной случайной

При необходимости определения параметров a и b по известным

2 3 _ vw mx, Dx используют следующие формулы:

0 3 = _ vw

Условия возникновения:

1.Случайная величина Х – ошибки округления при ограниченной разрядной сетке:

– округление до меньшего целого, X H [–1; 0], mx = – 0,5;

– округление до большего целого, X H [–0; 1], mx = 0,5;

– округление до ближайшего целого, X H [– 0,5; 0,5], mx = 0, где 1 – вес младшего разряда.

2.Случайная величина Х – погрешность считывания значений с

аналоговой шкалы измерительного прибора, X H [– 0,5; 0,5], mx = 0, где 1– цена деления шкалы.

3.Генераторы псевдослучайных величин, например RANDOM, встроенные в языки программирования высокого уровня.

5.4.5.Экспоненциальное распределение

или показательное распределение имеет непрерывная случайная величина T, принимающая только положительные

Рис.5.2. Плотность вероятности и функция экспоненциального распределения

75