дополнительную цифру в ˜ , т.е. повысить точность в 10 раз, количество измерений необходимо увеличить в 100 раз!

5.7.5.Ошибки косвенных измерений

Измерения делятся на прямые и косвенные. В первом случае непосредственно измеряется определяемая величина, при косвенных измерениях она определяется как функция от непосредственно

5.8.Доверительные интервалы и доверительная

вероятность

Точечные оценки имеют тот недостаток, что по ним нельзя судить о точности полученных оценок. Поэтому возникает задача определения на основании выборочных значений такого интервала,

91

который покрывал бы неизвестной значение параметра с заданной вероятностью.

В отличие от точечной оценки, интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оцениваемого параметра.

Выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонения от генеральных (т.е. погрешности их определения) также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер – можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Для этого в математической статистике пользуются

доверительными интервалами и доверительными

вероятностями.

Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Пусть для генерального параметра a получена из опыта несмещенная оценка a*. Нужно оценить возможную при этом ошибку. Назначим достаточно большую вероятность β – такую, что событие с этой вероятностью можно считать практически

При этом диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на а*, будет ±ε , большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью

α=1-β

называемой уровнем значимости или риском. Уровень значимости часто выражают в процентах. Иначе формулу (5.8.1) можно интерпретировать как вероятность того, что истинное значение параметра а лежит в пределах

92

a* − ε ≤ a ≤ a* + ε

Вероятность β называется доверительной вероятностью, доверительным уровнем или надежностью, т.к. она характеризует надежность полученной оценки.

Интервал Iβ = a* ± ε называется доверительным интервалом.

Границы интервала a′ = a* − ε и a′′ = a* + ε доверительными границами. Доверительный интервал при данной доверительной

вероятности определяет точность оценки параметра.

При этом отметим следующее. Ранее мы рассматривали вероятность попадания случайной величины на заданный (неслучайный) интервал. В данном случае дело обстоит иначе: величина а не случайна, зато случаен интервал Iβ . Случайно его положение на числовой прямой, определяемое его центром а , случайна и длина интервала 2ε, так как величина ε вычисляется, как правило, по опытным данным, т.е. по результатам эксперимента. Поэтому в рассматриваемом случае удобно толковать интервал I как вероятность того, что случайный интервал Iβ накроет величину а.

Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра внутри доверительного интервала: чем больше величина β, тем больше и ε (т.е. с чем большей вероятностью мы хотим гарантировать полученный результат, тем в большем интервале он должен находиться).

Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышении доверительной вероятности при сохранении доверительного интервала.

Обычно на практике фиксируется на определенном уровне значение доверительной вероятности (0.9, 0.95, 0.99, 0.999). Исходя из этого значения, определяют доверительный интервал результата Iβ

.

При построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении:

+ε

p(a* − a ≤ ε) = p(∆a ≤ ε) = F(ε) − F(−ε) = ∫ f (x)dx = β (5.8.2.)

−ε

93

Таким образом, если известен закон распределения оценки a*, то задача определения доверительного интервала решается довольно просто.

Рассмотрим построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины с известным генеральным стандартом σх.

Понятие генерального стандарта тесно связано с понятием точности прибора. Класс точности прибора – это выраженная в процентах относительная предельная погрешность измерения величины, равной пределу измерения прибора. В измерительной технике в большинстве отраслей промышленности под предельной погрешностью понимается величина, равная двум среднеквадратическим отклонениям

(ПРИМЕР: класс точности прибора K=abs(a max –a*)/amax =0.01 (1%) манометр с максимальным значением давления по шкале 100

распределение этой оценки. Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально можно показать, что x также имеет нормальное распределение с математическим

ожиданием mx и средним квадратическим отклонением σ x = σ x / n

. Тогда