Рис.5.6. Нахождение квантиля распределения Пирсона

5.4.8.Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (t–распределение) имеет важное значение при статистических вычислениях, связанных с нормальным законом, а именно тогда, когда среднее квадратическое отклонение σ неизвестно и подлежит определению по опытным данным.

Пусть Y: Y1, Y2, ..., Yn – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами M (Y)=M (Yi)=0 и

является функцией нормально распределенных случайных величин и называется безразмерной дробью Стьюдента.

Стьюдента.

Из формулы видно, что распределение случайной величины t зависит только от одного параметра – числа степеней свободы n, равного числу слагаемых в подкоренном выражении дроби Стьюдента ( ).

Известно, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины t соответственно равны

82

На рис.5.7. изображен график плотности распределения Стьюдента при различных степенях свободы. Замечаем, что при увеличении числа степеней свободы n он приближается к кривой Гаусса.

трапеций была бы равна α.

Рис.5.8. Квантили распределения Стьюдента

На рис.5.9 графически представлено соотношение между основными законами распределениями вероятностей.

83

p: <

Биномиальное ГАУСС

Стьюдент

Рис.5.9. Соотношения между различными законами распределения

5.5.Числовые характеристики системы случайных

величин (ковариация и корреляция)

Особую роль при исследовании системы случайных величин играет второй смешанный центральный момент, который называется

корреляционным моментом (ковариацией). Он обычно

обозначается: ;

Ž@ ° aG G ± @ = X@ ¥° = X°¦? @ ° A@

#;

Этот момент, определяемый как математическое ожидание произведения отклонений двух случайных величин от их математических ожиданий, характеризует взаимное влияние этих случайных величин. Для оценки степени этого влияния используют

Ž

коэффициент корреляции случайных величин Y и X:

²@ ° O@@O°°

Если случайные величины Y и X независимы, корреляционный момент и коэффициент корреляции равны нулю. В общем случае равенство нулю коэффициента корреляции является необходимым, но не достаточным условием независимости случайных величин X и

Y.

84

Если имеется система, состоящая из l случайных величин, можно ввести матрицу корреляционных моментов (ковариационную

Если случайные величины некоррелированы, то имеет место

Корреляционная матрица одна из важнейших характеристик, описывающих систему случайных величин. На основе корреляционной матрицы можно получить значение множественного коэффициента корреляции R, характеризующего статистическую зависимость некоторой переменной от остальных переменных.

5.6.Нормальное распределение системы случайных

величин

Так же как и в одномерном случае важнейшим законом распределения является нормальный многомерный закон распределения, для которого справедливо следующее положение: если нормально распределенные случайные величины некоррелированы, то они независимы. Кроме того, показано, что для

85

O°

Приведенные выше теоретические положения определяют условия применимости коэффициента корреляции как показателя, позволяющего оценивать тесноту связи исследуемых переменных.

Для корректного использования данного показателя необходимо, чтобы рассматриваемые переменные представляли собой систему случайных величин, имеющих нормальный совместный закон распределения. Тогда величина парного и множественного коэффициента корреляции может трактоваться как показатель, характеризующий уровень статистической линейной зависимости

зависимость отсутствует; 1- имеет место функциональная линейная зависимость).

5.7. Элементы математической статистики Математическая статистика – раздел математики, изучающий

методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений. Математическая статистика решает следующие задачи:

1. упорядочение данных, представление их в удобном для

случайной величины; 3. проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса

согласования оценивания с опытными данными (например, проверка гипотезы о том, что наблюдаемая случайная величина подчиняется нормальному закону).

86