- •И.Л. Корнилова, н.Н. Парамонова, а.П. Табурчак транспортные задачи в экономико-математическом моделировании
- •Введение
- •3.2 Разрешимость транспортной задачи
- •3.3 Открытая и закрытая модели транспортной задачи
- •3.4 Задача о распределении специалистов, как пример альтернативной экономической интерпретации транспортной задачи
- •3.5 Опорный план транспортной задачи
- •3.5.1 Метод северо-западного угла построения опорного плана транспортной задачи
- •3.5.2 Метод наименьшей стоимости
- •3.5.3 Метод аппроксимации Фогеля
- •3.6 Метод потенциалов
- •3.7 Пример решения задачи методом потенциалов
- •3.8 Модификации транспортной задачи
- •3.9 Порядок выполнения работы
- •4 Оформление результатов работы
- •5 Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 решение транспортной задачи с помощью надстройки «поиск решения» в microsoft excel
- •3.2 Отчет по результатам для транспортной задачи
- •3.3 Отчет по устойчивости для транспортной задачи
- •3.3.1 Отчет по устойчивости для переменных
- •3.3.2 Отчет по устойчивости для ограничений
- •3.4 Отчет по пределам для транспортной задачи
- •3.5 Порядок выполнения работы
- •4 Оформление результатов работы
- •5 Контрольные вопросы
- •Литература
- •Приложение а (рекомендуемое) Задача о назначениях
- •Приложение б (обязательное) Введение в "Систему деловых задач"
- •Содержание
- •Транспортные задачи в экономико-математическом моделировании
- •190013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26
3.5.3 Метод аппроксимации Фогеля
Еще более близкий к оптимальному план может быть получен с использованием метода аппроксимации Фогеля.
Этот метод принято сокращенно обозначать МАФ.
Метод является эвристическим, т.е. интуитивным, не обоснованным строго. Следует отметить, что во многих случаях план, полученный с его помощью, совпадает с тем, который получается при использовании метода наименьшей стоимости.
Алгоритм метода состоит в следующем:
1). Рассматривая матрицу затрат на перевозки, вычисляют штрафы для строк и столбцов, вычитая наименьший элемент строки (столбца) из следующего за ним по величине элемента этой же строки (столбца).
2). Выбирают столбец (строку) с наибольшим штрафом (если их несколько, то любой(-ую) из них). В нем (ней) выбирают клетку с наименьшим коэффициентом целевой функции и заполняют ее (алгоритм заполнения, пересчета свободных членов и исключения строки (столбца) такой же, как и в ранее рассмотренных двух методах).
3). Для оставшихся столбцов (строк) с ненулевыми свободными членами снова вычисляют штрафы и возвращаются к пункту 2, и так пока все клетки не будут исключены из рассмотрения.
4). Если из рассмотрения не исключены только столбцы (строки) с нулевыми свободными членами, к ним применяют метод наименьшей стоимости.
Для рассматриваемого примера наибольшим штрафом будет 14 – для Стокгольма. Из этого центра производства дешевле всего поставлять продукцию в дополнительный центр сбыта (не поставлять никуда) - с13= 0. Поэтому примемx13= 10:
|
Лейпциг |
Лион |
дополнительный центр сбыта |
ai |
штраф |
|
25 |
14 |
0 |
|
|
Стокгольм |
|
|
10 |
|
14-0=14 |
|
18 |
8 |
0 |
|
|
Триест |
|
|
|
40 |
8-0=8 |
|
12 |
6 |
0 |
|
|
Руан |
|
|
|
90 |
6-0=6 |
bj |
150 |
90 |
10 |
|
|
штраф |
18-12=6 |
8-6=2 |
0-0=0 |
|
|
При пересчете штрафов оказывается, что наибольший снова соответствует Стокгольму. Теперь из него дешевле всего поставлять продукцию в Лион, и эти поставки следует принять равными 90 (x12= 90):
Лейпциг |
Лион |
дополнительный центр сбыта |
ai |
штраф | |
|
25 |
14 |
0 |
|
25-14= |
Стокгольм |
|
90 |
10 |
|
=11 |
|
18 |
8 |
0 |
|
|
Триест |
|
|
|
40 |
18-8=10 |
|
12 |
6 |
0 |
|
|
Руан |
|
|
|
90 |
12-6=6 |
bj |
150 |
90 |
10 |
|
|
штраф |
18-12=6 |
8-6=2 |
|
|
|
Наибольший штраф (25) по-прежнему в первой строке. Следовательно, оставшиеся в Стокгольме 20 установок будут перевезены в Лейпциг (x11= 20). После этого наибольший штраф будет соответствовать Триесту, откуда следует перевезти 40 установок в Лейпциг (x21= 40). Недостающие после этого в Лейпциге 90 установок будут поставлены из Руана (x31= 90):
Лейпциг |
Лион |
дополнительный центр сбыта |
ai |
штраф | |
|
25 |
14 |
0 |
|
|
Стокгольм |
20 |
90 |
10 |
|
25 |
|
18 |
8 |
0 |
|
|
Триест |
40 |
|
|
40 |
18 |
|
12 |
6 |
0 |
|
|
Руан |
90 |
|
|
90 |
12 |
bj |
|
90 |
10 |
|
|
штраф |
18-12=6 |
|
|
|
|
Подставив полученный план в целевую функцию, легко убедиться, что он еще дешевле – 3560 ф.ст. Более того, как будет показано в дальнейшем, этот план является и оптимальным, т.е. в данном случае методом аппроксимации Фогеля сразу получено решение задачи, что для задач небольшой размерности случается очень часто. Однако, в общем случае это не так, и оптимальное решение следует искать методом потенциалов.
Можно доказать, что план, построенный любым из трех перечисленных методов, будет действительно опорным (т.е. что систему ограничений можно привести к такому виду, что столбцы коэффициентов при ненулевых переменных будут линейно независимы) [1, 14].