Приложение а (рекомендуемое) Задача о назначениях
Частным случаем транспортной задачи является задача о назначениях, с помощью которой можно смоделировать следующую экономическую ситуацию.
|
Модель в общем виде
Необходимо распределить n работ между n исполнителями таким образом, чтобы их выполнение было наиболее эффективным.
Каждый исполнитель
может выполнять только одну работу,
и каждая работа может быть выполнена
только одним исполнителем. Известна
эффективность выполнения i-й
работы j-м
исполнителем - cij,
|
Пример
Необходимо изготовить 4 образца изделий на 4 станках (n = 4), причем каждый образец может изготавливаться только на одном станке, а каждый станок быть занят изготовлением только одного образца. Задана матрица эффективности производства каждого образца на каждом станке (строки соответствуют образцам, а столбцы – станкам):
(изготовление первого образца на первом станке вообще не эффективно - c11 = 0, на втором эффективность оценивается c12 = 10, …, эффективность изготовления четверного образца на четвертом станке оценивается c44 = 20). Составить наиболее эффективный план производства изделий. |
.
Введем переменные
|
|
|
,
.Тогда суммарная эффективность составит
Продолжение приложения А
|
Каждая i –я работа должна быть выполнена одним исполнителем:
Каждый j–й исполнитель должен выполнить одну из работ:
|
(10х12 + 15х13 + 4х21 + 4х22 + 2х23 + +10х24 + 20х31 + 30х32 + 5х33 +10х41 + 20х44)
Первый образец обязательно должен быть изготовлен на одном из станков:
То же самое должно выполняться для остальных трех образцов:
На первом станке должен изготавливаться один образец:
То же самое должно выполняться для остальных трех станков:
|
- в этой сумме
часть слагаемых будет равна 0 (для хij
= 0), а другая часть будет представлять
собой эффективность от выполнения
конкретной работы конкретным
исполнителем (для хij
= 1).
.
Тогда модель примет вид
|
mах
|
mах (10х12 + 15х13 + 4х21 + 4х22 + 2х23 + 10х24 + 20х31 + 30х32 + 5х33 +10х41 + 20х44)
|
Продолжение приложения А
Построенная модель представляет собой особый случай целочисленных задач - переменные в ней могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1 (это задача с булевыми переменными). Помимо метода потенциалов, такая задача может быть решена венгерским методом (он используется только для задачи о назначениях) либо аддитивным методом, специально разработанным для задач с булевыми переменными [11].
Иногда строят задачи о назначениях с разным числом работ и исполнителей. В этом случае для решения задачи модель преобразуют путем введения дополнительных работ или исполнителей (по аналогии с тем, как открытую транспортную модель преобразуют в закрытую). Та работа, которую будет выполнять дополнительный (не существующий) исполнитель, окажется на самом деле не выполненной; а тот исполнитель, за которым будет закреплена дополнительная работа, окажется вообще не занятым.