3.5.2 Метод наименьшей стоимости

Недостатком метода северо-западного угла является то, что при построении исходного опорного плана никак не учитываются коэффициенты целевой функции. Если бы удалось их учесть, то можно было бы сразу построить более дешевый план. Тогда в ходе решения можно было бы быстрее перейти к самому дешевом, т.е. оптимальному плану. Существуют методы, позволяющие сразу построить этот план таким образом, что значение целевой функции на нем будет ближе к искомому оптимуму.

Один из них - метод наименьшей стоимости, который для задачи на минимум применяют следующим образом. Строят такую же таблицу, как и при использовании МСЗУ, но указывают в ней коэффициенты целевой функции для каждой ячейки. Таблицу начинают заполнять с той ячейки, которой соответствует наименьший коэффициентc_ij., т.е. вначале отправляют продукцию по тому направлению, где перевозки самые дешевые.

Пусть наименьшая цена перевозки соответствует переменной x_iojo. Тогда

1). Если a_io<b_jo, тоx_iojo=a_io.

После этого строку i_oисключают из рассмотрения (всеx_ioj= 0), а первому столбцу вместоb_jo ставят в соответствиеb_jo`=b_jo-a_io.

2). Если a_io>b_jo, тоx_iojo=b_jo. Исключают столбецj_o,a_io`=a_io-b_jo.

3). Если a_io =b_jo, то можно исключить либо столбец, либо строку.

Затем снова выбирают наименьший коэффициент c_ijиз оставшихся и рассматривают соответствующую ячейку.

Если клеток с наименьшим коэффициентом несколько, то берется та из них, которой можно присвоить наибольшее значение; если и таких несколько, то любая из них.

Далее действуют аналогично, пока не будут исключены из рассмотрения все клетки таблицы. Если при этом заполнены менее чем m+n-1 клетка таблицы, то вводят в базис со значением 0 переменную, которой соответствует наименьший коэффициентc_ijиз незаполненных клеток.

Рассмотрим применение данного метода к той же задаче. В левый верхний угол каждой клетки таблицы впишем значения коэффициентов целевой функции при переменных. Наименьшие коэффициенты, равные нулю, находятся в третьем столбце (при трех переменных - x₁₃,x₂₃,x₃₃). Какую из них выбрать? Если сравнивать запасы и потребности, оказывается, что в любом центре производства производится больше установок, чем необходимо дополнительному центру сбыта. Следовательно, при выборе любой из этих переменных ее нужно приравнять к 10. Возьмем, например, переменнуюx₁₃, т.е. излишек установок в Стокгольме. Так как 120 > 10 (a₁>b₃), будем считать, что все 10 «лишних» установок производятся именно в Стокгольме и там останутся (x₁₃= 10). После этого дополнительный центр сбыта можно исключить из рассмотрения, а из Стокгольма останется вывезти еще 110 установок:

	Лейпциг	Лион	дополнительный центр сбыта	ai
	25	14	0
Стокгольм			10	120 110
	18	8	0
Триест				40
	12	6	0
Руан				90
bj	150	90	10

Теперь наименьший коэффициент, равный 6, соответствует стоимости перевозки одной установки из Руана в Лион. В Руане производится столько же установок, сколько необходимо поставить в Лион, поэтому x₃₂= 90, а из рассмотрения можно исключить либо третью строку, либо второй столбец. Исключим из рассмотрения Руан, а новые потребности Лиона примем равными нулю:

	Лейпциг	Лион	дополнительный центр сбыта	ai
	25	14	0
Стокгольм			10	120 110
	18	8	0
Триест				40
	12	6	0
Руан		90		90
bj	150	90 0	10

В оставшейся части таблицы дешевле всего поставки из Триеста в Лион (min{25; 14; 18; 8} = с₂₂= 8), но их следует принять равными нулю (x₂₂= 0), так как потребности Лиона уже полностью удовлетворены. После этого в рассмотрении останутся только поставки в Лейпциг из Стокгольма и Триеста. Везти установки из Триеста дешевле (с₂₁= 18), и эти перевозки следует принять равными 40 (x₂₁= 40). Оставшиеся в Стокгольме 110 установок поставляются в Лейпциг (x₁₁= 110):

	Лейпциг	Лион	дополнительный центр сбыта	ai
	25	14	0
Стокгольм	110		10	120 110
	18	8	0
Триест	40	0		40
	12	6	0
Руан		90		90
bj	150 110	90 0	10

Заполненные 5 клеток таблицы соответствуют базисным переменным опорного плана. Отметим, что здесь базис вырожденный [3], так как одна из базисных переменных (x₂₂) равна нулю. Полученный таким способом план несколько дешевле, чем план, полученный методом северо-западного угла: 25*110 + 18*40 + 6*90 = 4010 < 4100. Можно предположить, что если начать решать задачу с этого плана, то оптимальный план будет получен быстрее.

Если транспортная задача поставлена на максимум, а не на минимум, то рассмотренный метод превращается в метод наибольшей стоимости, и заполнение таблицы начинают с той ячейки, в которой коэффициент целевой функции – самый большой.