3.4 Задача о распределении специалистов, как пример альтернативной экономической интерпретации транспортной задачи

Рассмотрим пример использования транспортной модели в ситуации, не связанной с перевозкой продукции.

Например, рассмотрим следующую экономическую ситуацию:

Специалистов nразличных групп нужно распределить наиболее эффективным образом поmвидам работ. Задана матрица эффективности использования специалистаi-й группы наj-м виде работc_ij. Кроме того, задано общее количество специалистов каждой группыa_i, и общая потребность в работниках по каждому виду работb_j, .

Введем переменные х_ij- количество специалистовi-й группы, занятых наj-м виде работ. Тогда модель строится следующим образом:

(8)

Например, НИИ разрабатывает 2 научные программы для молодых ученых, к которым необходимо привлечь соответственно 10 и 7 человек. На участие в них претендуют выпускники аспирантуры 4 учебных заведений, по 5 человек из каждого. Экспертная комиссия пришла к выводу, что эффективность использования одного выпускника каждого учебного заведения в программе № 1 может быть оценена по 5-балльной шкале соответственно в 2, 3, 5 и 1 балл. Для программы № 2 эти оценки составят 3, 1, 5 и 2 балла. Необходимо распределить молодых ученых по научным программам наиболее эффективным образом.

Для построения модели введем переменные x_ij- количество выпускниковi-го учебного заведения, направляемых наj-ю программу. Модель примет вид:

min (2x₁₁+ 3x₁₂+ 3x₂₁+ x₂₂+ 5x₃₁+ 5x₃₂+ x₄₁+ 2x₄₂)

x₁₁+ x₁₂5

x₂₁+ x₂₂5

x₃₁+ x₃₂5

x₄₁+ x₄₂5

x₁₁+ x₂₁+ x₃₁ + x₄₁10

x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ + x₄₂ 7

Задача (8) разрешима при тех же условиях, что и модель (1). Действительно, если общая потребность в работниках не превышает общего числа специалистов, то ее ОДП не пуста (система ограничений здесь такая же, как в модели (1)). Однако целевая функция здесь не минимизируется, а максимизируется. Может ли она быть не ограничена сверху? Нет, не может. Если выбрать в матрице коэффициентов целевой функции самый большой элемент {c_ij} и предположить, что каждого специалиста каким-то образом удалось устроить на работу с этой самой большой эффективностью, то мы получим суммарную величину эффективности путем умножения{c_ij} на общее число специалистов. Значение целевой функции не может быть больше этой величины. В рассмотренном примере самая большая оценка – 5 баллов, а молодых ученых – 20 человек. Следовательно, суммарная эффективность не может превысить 20 * 5 = 100.

Взяв коэффициенты целевой функции с противоположным знаком, эту задачу можно поставить на min, и тогда очевидна ее эквивалентность транспортной задаче (1).

Транспортная задача в традиционной интерпретации (о перевозках) также может быть поставлена на максимум. Предположим, что коэффициенты целевой функцииc_ij представляют собой не затраты на перевозку единицы продукции от i-го поставщика к j-му потребителю, а прибыль от реализации единицы продукции i-го поставщика у j-го потребителя. Целью операции будет получение наибольшей прибыли, т.е. max.

Особый класс транспортных задач представляют собой задачи о назначениях^*.

3.5 Опорный план транспортной задачи

Метод решения транспортной задачи представляет собой развитие идеи симплекс-метода [3] и тоже основан на переборе опорных планов этой задачи. Опорный план должен включать столько базисных переменных, сколько в задаче линейного программирования независимых уравнений.

Если бы система ограничений закрытой транспортной задачи была линейно независимой, то базисных переменных было бы m+n. Но из задач (6) и (7) видно, что такая система линейных уравнений является линейно зависимой (например, если сложить все ограничения из первой и все из второй группы, а затем вычесть из одной суммы другую, в левой части получится ноль). Можно доказать, что если удалить из системы одно ограничение, то она станет независимой (одно ограничение является лишним, оно следует из остальных). Следовательно, базисных переменных должно бытьm+n-1.

Для построения опорного плана транспортной задачи разработано несколько способов, наиболее распространенным является метод северо-западного угла.