3.5.1 Метод северо-западного угла построения опорного плана транспортной задачи

Этот метод принято сокращенно обозначать МСЗУ.

Представим опорный план транспортной задачи в виде таблицы, строки которой будут соответствовать поставщикам (с их запасами a_i), столбцы – потребителям (с их потребностямиb_j), а ячейки – компонентам опорного плана (например, в первой строке первого столбца будет стоять значение переменнойx₁₁). Будем заполнять лишь те ячейки, которые будут соответствовать базисным компонентам, переменные в незаполненных ячейках равны нулю.

	x11					a1
						a2
						an
	b1	b2			bm

Применение метода начинают с того, что рассматривают левый верхний («северо-западный») угол таблицы, который соответствует переменной x₁₁, т.е. перевозкам от первого поставщика к первому потребителю. Сравнивают их запас и потребность -a₁иb₁.

1). Если a₁<b₁, тоx₁₁=a₁, т.е. всю продукцию первого поставщика отправляют к первому потребителю.

После этого первую строку исключают из рассмотрения (все остальные x_1j= 0). В самом деле, ведь запасы первого поставщика уже закончились. Следовательно, больше никому ничего везти от него нельзя.

Первому столбцу вместо b₁ ставят в соответствиеb₁`=b₁-a₁, поскольку потребность первого потребителя снизилась (она уже частично удовлетворена).

Затем снова рассматривают левый верхний угол оставшейся части таблицы (без первой строки), т.е. х₂₁.

2). Если a₁>b₁, тоx₁₁=b₁., т.е. первого потребителя полностью удовлетворяют за счет запасов первого поставщика, после чего этого потребителя (первый столбец) исключают. Запасы первого поставщика уменьшаютсяa₁`=a₁-b ₁.

Затем рассматривают левый верхний угол оставшейся части таблицы (без первого столбца), т.е. х₁₂.

3). Если a₁ =b₁, то можно исключить либо столбец, либо строку.

Далее действуют аналогично, т.е. либо принимают х₂₁=min{b₁`;a<sub>2</sub>}, либо принимают х<sub>12</sub>=min{b<sub>2</sub>;a<sub>1</sub>`}. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут исключены из рассмотрения все ячейки. При этом окажется заполненнойm+n-1 клетка таблицы.

Рассмотрим применение данного метода к задаче о холодильных установках. Для этого необходимо построить таблицу из трех строк и столбцов, соответствующих шести центрам производства и сбыта (включая дополнительный). Чтобы построить опорный план, необходимо заполнить 3 + 3 – 1 = 5 клеток этой таблицы.

Ее левый верхний угол будет соответствовать поставкам холодильных установок из Стокгольма в Лейпциг (переменной x₁₁). Так как в Стокгольме производится меньше установок, чем необходимо поставить в Лейпциг (a₁<b₁, 120 < 150), то направим все эти 120 установок в Лейпциг (x₁₁= 120). После этого Стокгольм (первую строку таблицы) можно исключить из рассмотрения, так как холодильных установок в этом центре сбыта больше не осталось. В Лейпциг же необходимо поставить еще 150 – 120 = 30 установок, поэтому Лейпцигу (первый столбец) ставится в соответствие новое значение потребностей – 30:

	Лейпциг	Лион	дополнительный центр сбыта
Стокгольм	120			120
Триест				40
Руан				90
	150 30	90	10

Левый верхний угол новой таблицы соответствует поставкам продукции из Триеста в Лейпциг. Так как min{30; 40} = 30, в Лейпциг направляется 30 установок (x₂₁= 30), после чего потребности Лейпцига удовлетворены полностью, и второй столбец можно исключить из рассмотрения. В Триесте осталось 10 установок:

	Лейпциг	Лион	дополнительный центр сбыта
Стокгольм	120			120
Триест	30			40 10
Руан				90
	150 30	90	10

Аналогично поставки продукции из Триеста в Лион принимают равными 10 (x₂₂= 10), а из Руана в Лион – 80 (x₃₂= 80). После этого в Руане остается еще 10 установок, которые следует перевезти в дополнительный центр сбыта (т.е. потребность в них в рамках данной модели на самом деле отсутствует) -x₃₃= 10. После этого можно будет исключить из рассмотрения и последний столбец:

	Лейпциг	Лион	дополнительный центр сбыта
Стокгольм	120			120
Триест	30	10		40 10
Руан		80	10	90 10
	150 30	90 80	10

Итак, заполнены пять клеток таблицы, соответствующие базисным переменным. Остальные четыре переменные являются небазисными и равны нулю (x₁₂=x₃₁=x₁₃=x₂₃= 0), т.е. при таком плане перевозок из Стокгольма в Лион и из Руана в Лейпциг холодильные установки не перевозятся, при этом из Стокгольма и Триеста вывозятся все установки, излишков не остается.

Получен допустимый план, который можно использовать в качестве опорного и начать с него решение задачи. Впоследствии от этого плана мы будем переходить к другим, более дешевым. Чтобы наглядно убедиться, что впоследствии мы получим более выгодные планы перевозок, можно подсчитать, во сколько обойдется оплата перевозок по плану, построенному МСЗУ. Для этого подставим его в целевую функцию задачи: 25x₁₁+ 14x₁₂+ + 18x₂₁+ 8x₂₂+ 12x₃₁+ 6x₃₂= 25*120 + 18*30 + 8*10 + 6*80 = 4100 (ф.ст.)