Интеграл 2

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.С.Желтухин

Неопределенные интегралы: методы вычисления

КАЗАНЬ 2005

1 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Определение. Функция F (x) в данном промежутке X называется первообразной функции f(x) или неопределенным интегралом от f(x), если во всем промежутке F 0(x) = f(x) èëè

dF (x) = f(x) dx.

Теорема. Если в некотором промежутке X функция F (x) есть первообразная для функции f(x), то и функция F (x) + C, ãäå C любая постоянная, также будет первообразной для f(x), и наоборот, каждая функция, первообразная для f(x) в некотором промежутке X, может быть представлена в этой форме.

В силу теоремы, выражение F (x) + C, ãäå C произвольная

постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x) dx и обозначается сим-

f(x) dx;

âкотором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Выражение f(x)dx называют подинтегральным выражением,

а функцию f(x) подинтегральной функцией.

ZZ

2)F 0(x) dx = dF (x) = F (x) + C:

Z

(знаки дифференциала d и интеграла взаимно сокращаются, только во втором случае к F (x) нужно прибавить произвольную постоянную).

3

Каждая формула дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функции F (x) производной будет f(x),

приводит к соответствующей формуле интегрального исчисления

Z

f(x) dx = F (x) + C:

Перебрав формулы, по которым вычисляются производные элементарных функций, и добавив некоторые формулы, выведенные дальше, можно составить таблицу интегралов (см. табл. 1).

Правила интегрирования

I) Åñëè a произвольная постоянная, то

Рассмотрим применение правил интегрирования на примерах.

Z

4

5

и напоследок воспользуемся п.п. 2, 3 табл. 1:

6

Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облег- чается разложением ее на сумму дробей с более простыми знаменателями.

Ï ð è ì å ð 8. .

7

. Знаменатель дроби разлагается на вещественные множители:

Ax2 + 2Bx + C = A(x ¡ ®)(x ¡ ¯);

Тогда, в соответствии с примером 9, полагая в нем a = ¡¯, b = ¡®,

Некоторые тригонометрические выражения, после тех или иных элементарных преобразований, также интегрируются при помощи простейших приемов.

. Очевидно, например, что

1 + cos 2mx;

2

следовательно

Ï ð è ì å ð 13. . Аналогично,

sin mx cos nx = 12 [sin(m + n)x + sin(m ¡ n)x];

считая m § n =6 0, получим, что

Z

1 1

sin mx cos nx dx = ¡ 2(m + n) cos(m+n)x¡ 2(m ¡ n) cos(m¡n)x+C: /

8

В заключение рассмотрим немного более сложный пример:

Z

Ï ð è ì å ð 14. Вычислить J =

. Òàê êàê

2ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Метод замены переменной или метод подстановки является одним из сильнейших приемов интегрирования функций. В основе

g[!(x)]!0(x) dx = G[!(x)] + C:

(функции g(t), !(x), !0(x) предполагаются непрерывными).

Z

Пусть требуется вычислить интеграл

случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию от x

t = !(x);

чтобы подинтегральное выражение представилось в виде

f(x) dx = g[!(x)]!0(x) dx;

ãäå g(t) более удобная для интегрирования функция, чем f(x).

Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл

Z

g(t) dt = G(t) + C;

9

чтобы из него подстановкой t = !(x) получить искомый интеграл.

подразумевая, что в функции от t, которая представлена интегралом

справа, уже произведена указанная замена.

Z

Ï ð è ì å ð 15. Найдем интеграл sin3 x cos x dx:

t = sin x, преобразуем

sin3 x cos x dx = sin3 x d(sin x) = t3 dt:

Возвращаясь к переменной x, и подставляя sin x вместо t, получим:

При выборе подстановки t = !(x), упрощающей подинтеграль-

ное выражение, необходимо помнить, что в его составе должен найтись множитель !0(x) dx, дающий дифференциал

новой переменной, dt.

Z

Ï ð è ì å ð 16. Вычислить интеграл J = sin3 x dx.

. Здесь подстановка t = sin x непригодна именно ввиду от-

сутствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить из подинтегрального выражения, в качестве дифференциала новой пе-

ременной, множитель sin x dx, или лучше ¡ sin x dx, то это приведет

êподстановке t = cos x; так как остающееся выражение

¡sin2 x = cos2 x ¡ 1;

10