Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интеграл 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

436.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

ýòîì

2 th(x=2)

1 + th2(x=2)

1 + t2

sh x =

;

ch x =

;

(x=2)

1 ¡ t

1 ¡ th

1 ¡ t

1 ¡ th (x=2)

x = 2 Arth t;

dx =

2 dt

;

òàê ÷òî

1 ¡ t2

1 2

; 1

t2 :

R(sh x; ch x) dx = 2

+ t2

Так же, как и при интегрировании тригонометрических выражений, в ряде случаев удобнее другие подстановки:

1)Åñëè

2)Åñëè

3)Åñëè

R(¡ sh x; ch x) = ¡R(sh x; ch x); R(sh x; ¡ ch x) = ¡R(sh x; ch x); R(¡ sh x; ¡ ch x) = R(sh x; ch x);

òî t = ch x;

òî t = sh x;

òî t = th x.

Также, как и в интегралах от тригонометрических функций, иногда интегрирование выражений вида R(sh x; ch x) может быть

выполнено другими методами. Z

Ï ð è ì å ð 58. Вычислить J = ch3 x sh8 x dx.

. Подинтегральное выражение нечетно относительно ch x; ïðè-

меняем подстановку t = sh x. Имеем

Z Z

J =

= t9 9

Ï ð è ì å ð 59.

(1 + sh2 x) sh8 x d sh x = (1 + t2)t8 dt =


+	t11	+ C =		1	sh9 x +			1	sh11 x + C: /
			9
11						Z	11
Вычислить J =							4 sh x + 5 ch x dx.
							2 sh x + 3 ch x

. Воспользуемся тем обстоятельством, что и числитель и знаменатель есть линейная комбинация ch x è sh x, и, кроме того,

(ch x)0 = sh x; (sh x)0 = ch x:

Представим числитель в виде линейной комбинации знаменателя и его производной:

2 sh x + 3 ch x = ®(4 sh x + 5 ch x) + ¯(4 ch x + 5 sh x):

Для определения ® è ¯ получаем систему уравнений

(

4® + 5¯ = 2;

5® + 4¯ = 3;

откуда ® = 7=9, ¯ = ¡2=9. Следовательно,

	7		2			4 ch x + 5 sh x
J =		Z	dx ¡		Z		dx =
	9			9		4 sh x + 5 ch x

= 7 x ¡ 2 d(4 sh x + 5 ch x) = 9 9 4 sh x + 5 ch x

= 79 x ¡ 29 ln(4 sh x + 5 ch x) + C: /

Интегрирование выражений вида
Z	sinº x ¢ cos¹ x dx,	Z shº x ¢ ch¹ x dx
Интегралы вида		J2 = Z
J1 = Z	sinº x cos¹ x dx;	J2 = Z	shº x ch¹ x dx
(¹; º рациональные числа) подстановками
	t = sin x;	t = cos x;
и, соответственно,
	t = sh x;	t = ch x;

всегда можно привести к интегралу от дифференциального бинома. Значительно больший интерес представляет подстановка

t = sin2 x; dt = 2 sin x cos x dx;

которая приводит интеграл J1 к интегралу Jp; q, определенному мулой (29) на с. 46:

J1 =

sinº¡1

1 ¡ sin2 x

¹¡1

¢ 2 sin x cos x dx =

(1 ¡ t)

¡2

dt =

¹¡2 1

;

ôîð-

º¡1 :

Из условий интегрируемости дифференциального бинома следует, что интеграл J1 берется в конечном виде, если ¹ èëè º åñòü

нечетное целое число, либо если ¹ + º есть четное целое число. Если показатель º (èëè ¹) будет нечетным, то рационализа-

ция сразу достигается подстановкой t = cos x (èëè t = sin x). Если же оба показателя ¹ è º четные (а также если они оба нечетные), то можно для той же цели применить подстановку t = tg x èëè

t = ctg x.

Если показатели ¹ è º оба положительные четные числа, то

предпочтительнее другой прием, основанный на использовании формул

sin x cos x =	sin 2x	;	sin2 x =	1 ¡ cos 2x	;	cos2 x =	1 + cos 2x	:
	2			2			2

Именно, если º = 2n;			¹ = 2m, òî ïðè º ¸ ¹ получим

sin2n x cos2m x =	(sin x cos x)2m sin2(n¡m) x =
=	µsin22		¶	2m	µ1 ¡	2	¶	n¡m
		x		2m		cos 2x		n¡m

à ïðè º < ¹

sin2n x cos2m x =	(sin x cos x)2n cos2(m¡n) x =
=	µsin22		¶	2n	µ1 +	2	¶	n¡m
		x		2n		cos 2x		n¡m

;

В развернутом виде получится сумма членов вида

	C sinº1 2x ¢ cos¹1 2x;
ãäå º1 + ¹1 ¸ n + m =	º + ¹

	2 . Те члены, у которых хотя бы один из

показателей º1, èëè ¹1 есть нечетное число, легко интегрируются по

указанному выше способу. Остальные члены подвергаем подобному же разложению, переходя к sin 4x è cos 4x, è ò.ä. Òàê êàê ïðè êàæ-

дом разложении сумма показателей уменьшается, по крайней мере, вдвое, то процесс быстро завершается.

При больших показателях степеней ¹ è º (не обязательно целых) имеют место следующие формулы приведения, вытекающие из

соответствующих формул для интеграла от дифференциального бинома (c. 47):

(I) Z

sinº x cos¹ x dx = ¡

sinº+1 x cos¹+1 x

¹ + 1

Z sinº x cos¹+2 x dx; ¹ 6= ¡1;

º + ¹ + 2

(II) Z

sinº x cos¹ x dx = =

sin

º+1 x cos¹+1 x

º + 1

º + ¹ + 2

sinº+2 x cos¹ x dx;

º 6= ¡1;

(III) Z

º + 1

sin

º+1 x cos¹

1 x

sinº x cos¹ x dx = =

º + ¹

º + ¹ Z

(IV) Z

¹ ¡ 1

sinº x cos¹¡2 x dx;

º + ¹ = 0;

sinº x cos¹ x dx = = sin

º + ¹

1 x cos¹+1 x

º + ¹ Z

º ¡ 1

sinº¡2 x cos¹ x dx;

º + ¹ = 0:

Эти формулы позволяют увеличить или уменьшить показатель º èëè ¹ на 2 (за указанными исключениями). Если оба по-

казателя º è ¹ целые числа, то последовательным применением

формул приведения можно свести вычисление интеграла к одному из девяти элементарных интегралов, отвечающих различным ком-

бинациям из значений º è ¹, равных ¡1, 0 èëè 1:

1) Z

dx = x + C;

2) Z

cos x dx = sin x + C;

´¯

3) Z

4) Z

sin x

= ln

2 +

+ C;

sin x dx = ¡ cos x + C;

cos x

dx =¯

+¯

= ln tg

+ C;

cos x

sin x

cos x

sin

7) Z

dx =¯ln j sin¯

xj + C;

8) Z

sin x cos x dx =

+ C;

sin x

9) Z

= ln jtg xj + C :

sin x cos x

Аналогичные приемы применяются для вычисления интегралов от гиперболических функций вида

shº x ch¹ x dx:

Ï ð è ì å ð 60. Вычислить J = Z

sin2 x cos4 x dx.

. Здесь пригодна подстановка t = tg x, но проще воспользо-

ваться формулами понижения степени:

sin2 x cos4 x =

sin2 2x (cos 2x+1) =

sin2 2x cos 2x+

(1¡cos 4x);

поэтому

sin3

x ¡

J =

2x +

sin 4x + C: /

Ï ð è ì å ð 61. Вычислить J = Z

cos4 x

dx.

sin3 x

. Пригодна подстановка t = cos x, но проще воспользоваться II

и III формулами приведения:

cos4 x

cos5 x

cos4 x

dx;

sin3 x

2 sin2 x

sin x

cos4 x

cos2 x

cos3 x + Z

dx =

sin x

¯tg

¯ + C;

3 cos3 x + cos x + ln

так что после упрощающих преобразований

cos5 x

¯ + C: /

J = ¡ 2 sin2 x ¡ cos x ¡ 2 ln ¯tg

Обзор других случаев.

В разделе 3 показано, как интегрируются выражения вида

Pn(x)eax; Pn(x) sin bx;

ãäå Pn(x) целый полином. Отметим, что дробные выражения

ex		sin x
	;		;
xn		xn

lndyy = li(y) + C; y 2 (0; 1)

уже не интегрируются в конечном виде.

С помощью интегрирования по частям легко установить для интегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести их, соответственно, к следующим основным интегралам

(интегральный логарифм)

Z ex Z x dx =

(интегральныйZсинус)

sinx x dx = Si(x) + C; x 2 (¡1; +1)

(интеграл вероятностей)

1		Z	2
p			e¡x	dx = Φ0(x) + C; x 2 (¡1; +1)
	2¼

Подчеркнем, что все эти интегралы реально существуют, но они представляют собой совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые называют элементарными . При этом символами li(x), Si(x), Φ0(x) обозначаются те

первообразные функций
	x			sin x		1			e¡x	2
		;			;		p				;
ln x				x
ln x				x				2¼
которые удовлетворяют следующим условиям:
Si(0) = 0;			lim li(y) = 0;						Φ0(0) = 0:
			y!0+

Ï ð è ì å ð 62. Выразить через интегральный логарифм li(x) è

элементарные функции интеграл J =

ln2 x .

. Воспользуемся формулой интегрирования по частям, поло-

æèâ u = x; dv =

òàê, ÷òî

x ln2 x

ln2 x

= ¡ ln x :

du = dx; v = Z

x ln2 x =

d ln x

Тогда

J = ¡

+ Z

= ¡

+ li(x) + C: /

ln x

7 ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычислить интегралы:

1: Z

)(1 + p

)

(

dx:

3: Z

ax + b

dx:

cx + d

5: Z

cos mx sin nx dx

(m § n 6= 0):

7: Z

1x+ x4 :

9: Z

x ln x ln ln x

11: Z

A2 sin2 x + B2 cos2 x

13: Z

cos x

15: Z

17: Z

(x2 ¡ a2)3=2

19: Z

x3 ln x dx:

21:

arctg x dx:

23: Z

x2 (1 + x2)2

25: Z

¡ p

3 4x2 + 4x + 1

2x + 1

27: Z

xp3

dx:

1 + x5

29:

2x4 ¡ 4x3 + 24x2 ¡ 40x + 20

dx:

(x ¡ 1) (x2 ¡ 2x + 2)3

2: Z

(k > 1):

(x ¡ a)k

4: Z

2x3

3x2 + x

dx:

x + 3

6: Z

sin(2n + 1)x

(n > 0):

sin x

8: Z

dx:

cos2 x3

10: Z

tg x dx:

12: Z

ctg x dx:

14: Z

arctg x

dx:

1 + x2

16: Z

(x2 + a2)3=2

18: Z

(a2 ¡ x2)3=2

20: Z

arcsin x dx:

eax sin bx dx:

22:

24: Z

x4 + 1

26: Z

x2 (1 + x2)2

28:

3 x ¡ x3 dx:

30: Z	x6	¡	x5 + x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 3	dx:
			(x + 1)2 (x2 + x + 1)3

Вывести рекуррентные соотношения и вычислить ин-
тегралы при m = ¡3 è m = 4:
31: Z		xm		32: Z		xm
			dx:				dx :
	p				p
		x2 ¡ 1				x2 + 1

Вычислить интегралы:

33: Z

x2 dx

ax2 + b:

35: Z

x3 px + 1

x +

x2 ¡ x + 1

37:

dx:

x2 + 2x + 2

39: Z

x3dx

dx:

(1 + x)

1 + 2x

41: Z

p dx

(x2 + 2)

2x2

2x + 5

43: Z

sin x sin 2x

45: Z

sin x cos 2x

47: Z

a + b tg x

49: Z

cos5 x

tg6 x dx:

51:

53: sh2 x ch3 x dx:

55: Z

x cos x ¡ sin x

dx:

34:

36:

38:

40:

42:

44:

46:

48:

50:

52:

54:

56:

ax2

dx:

(a2 + x2)

a2 ¡ x2

dx:

(x ¡ 1)3

x2 ¡ 2x ¡ 1

dx:

(7x

10)3

¡dx

dx:

x)5

(2 + x) (2

sin x cos x

dx:

sin x + cos x

cos4 x

dx:

sin3 x

a + b cos x

Zch2 x

Zsh3 x dx:

sin4 cos6 x dx:

(2x + 1)earctg x dx:

a + b cos x + c sin x :

57:

58:

(x2 + 1)

x2 + x + 1

¡ x3 + 1

dx:

+ 1

;

(AC ¡ B

> 0):

A cos2 x + 2B sin x cos x + C sin2 x

Выразить через функции

тарные функции интегралы

59: sin x Si(x) dx:

61: xΦ0(x) dx:

Si(x), li(x), Φ0(x) и элемен-

60: li(x) dx:

62: Φ0(x) dx:

ПРИЛОЖЕНИЯ

AОсновные соотношения для тригонометриче- ских и гиперболических функций, а также обратных к ним

A.1 Тригонометрические функции и обратные к ним

Основные тождества

sin2 x + cos2 x = 1;			tg x ¢ ctg x = 1;
1			1
1 + tg2 x =		;	1 + ctg2 x =		:
	cos2 x			sin2 x

Универсальная тригонометрическая подстановка

Åñëè t = tg

sin x =

;

cos x =

1¡t22

;

dx =

2 dt

1+t

2 , òî

1+t

Формулы сложения

sin(x § y) = sin x cos y § cos x sin y;

cos(x § y) = cos x cos y ¨ sin x sin y;

sin(x + y + z) = sin x cos y cos z + cos x sin y cos z+

+ cos x cos y sin z ¡ sin x sin y sin z;

cos(x + y + z) = cos x cos y cos z ¡ sin x sin y cos z¡

¡ sin x cos y sin z ¡ cos x sin y sin z;

tg(x

y) =

tg x § tg y

;

ctg(x

y) =

ctg x ctg y ¨ 1

;

tg x tg y

ctg y

ctg x

Формулы для половинного значения аргумента

sin 2		= §r			;	cos 2		= §r		;
sin 2		= §r	1 ¡	2	;	cos 2		= §r	2	;
	x			cos x			x		1 + cos x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.2016173.57 Кб12ИНЖГРАФ (Приемы работы).doc
#
21.03.2016124.42 Кб9ИНЖГРАФИКА (Графические элементы).doc
#
16.04.2015281.33 Кб27инн_мен.docx
#
16.04.2015428.03 Кб43Инновационный менеджмент(полный конспект).doc
#
16.08.201945.37 Кб28Инновационный менеджмент.docx
#
16.04.2015436.97 Кб31Интеграл 2.pdf
#
18.12.2018138.75 Кб25Инф менеджмент.doc
#
20.04.20194.81 Mб18Инф_КР_1курс_230105.docx
#
16.04.2015321.68 Кб240ИнфМен.docx
#
11.11.201944.45 Кб16информатика 2.docx
#
18.11.201937.86 Кб14ИНФОРМАТИКА 2.docx