Интеграл 2
.pdftg x2 ctg x2
= |
|
1 |
¡ cos x |
|
= |
sin x |
= |
1 |
¡ cos x |
; |
|
§r1 |
+ cos x |
1 + cos x |
|
sin x |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
+ cos x |
|
sin x |
|
1 |
+ cos x |
|
||
= §r |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
: |
||
1 |
¡ cos x |
1 ¡ cos x |
|
sin x |
Знак выбирается в соответствии со знаком левой части.
Функции кратных аргументов
|
sin |
2x = 2 sin x cos x = |
2 tg x |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tg |
|
|
|
|
|
|
||
|
cos |
2x = cos2 x |
¡ |
sin2 x = |
1 ¡ tg2 x |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + tg2 x |
|
|||||||
|
|
|
= 2 cos2 x ¡ 1 = 1 ¡ 2 sin2 x ; |
|
||||||||||||||||
|
tg |
2x = |
2 tg x |
|
= |
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
|||||||
|
1 ¡ tg2 x |
ctg x ¡ tg x |
|
|
||||||||||||||||
|
ctg |
2x = |
ctg2 x ¡ 1 |
= |
ctg x ¡ tg x |
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 ctg x |
|
|
|
|
|
2 |
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|||
sin 3x = 3 sin x ¡ 4 sin3 x ; |
|
|
|
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|
cos 3x = 4 cos3 x ¡ 3 cos x ; |
|
||||||||||||
tg 3x = |
3 tg x ¡ tg3 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
ctg 3x = |
ctg3 x ¡ 3 ctg x |
; |
|
|||||||
|
1 ¡ 3 tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ctg2 x ¡ 1 |
|
|||||
sin 4x = 8 cos3 x sin x ¡ 4 cos x sin x ; |
cos 4x = 8 cos4 x ¡ 8 cos2 x + 1 ; |
|||||||||||||||||||
tg 4x = |
4 tg x ¡ 4 tg3 x |
; |
|
|
|
|
|
ctg 4x = |
ctg4 x ¡ 6 ctg2 x + 1 |
: |
||||||||||
1 ¡ 6 tg2 x + tg4 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ctg3 x ¡ 4 ctg x |
|
Функции кратных аргументов при больших n
cos nx |
= |
cosn x ¡ Cn2 cosn¡2 x sin2 x + |
|
|
+ Cn4 cosn¡4 x sin4 x ¡ Cn6 cosn¡6 x sin6 x + : : : ; |
sin nx |
= |
Cn1 cosn¡1 x sin x ¡ Cn3 cosn¡3 x sin3 x + |
|
|
+ Cn5 cosn¡5 x sin5 x ¡ : : : : |
61
Сумма и разность функций
|
sin x + sin y = |
2 sin |
x + y |
|
cos |
x ¡ y |
; |
|
|
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|||||||||||||||||
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|
|
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|||||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
sin x |
¡ |
sin y = |
2 cos |
x + y |
sin |
x ¡ y |
; |
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos x + cos y = |
2 cos |
x + y |
cos |
x ¡ y |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos x |
¡ |
cos y = |
2 sin |
x + y |
sin |
y ¡ x |
|
; |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
2¼ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
||||
cos x § sin x = p2 sin ³ |
|
|
§ x´ |
= p2 cos ³ |
|
¨ x´ ; |
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
tg x |
|
tg y = |
sin(x § y) |
|
; |
|
|
|
ctg x |
|
|
ctg y = |
|
|
sin(x § y) |
|
; |
|||||||||||||
§ |
cos x cos y |
|
|
|
§ |
§ sin x sin y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||
tg x + ctg y = |
cos(x ¡ y) |
|
; |
|
|
|
ctg x |
|
|
|
tg y = |
|
|
cos(x + y) |
: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
cos x sin y |
|
|
|
¡ |
|
§ sin x cos y |
||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведения функций
sin x sin y = |
1 |
[cos(x ¡ y) ¡ cos(x + y)]; |
|
||
2 |
||
cos x cos y = |
1 |
[cos(x ¡ y) + cos(x + y)]; |
|
||
2 |
||
sin x cos y = |
1 |
[sin(x ¡ y) + sin(x + y)]; |
|
||
2 |
cos(x + y) cos(x ¡ y) = cos2 y ¡ sin2 x = cos2 x ¡ sin2 y ; sin(x + y) sin(x ¡ y) = cos2 y ¡ cos2 x = sin2 x ¡ sin2 y;
tg x tg y = |
tg x + tg y |
= |
|
|
|
tg x ¡ tg y |
|
; |
|||||||||
ctg x + ctg y |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
¡ ctg x |
¡ |
ctg y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ctg x ctg y = |
ctg x + ctg y |
= |
|
|
ctg x ¡ ctg y |
; |
|||||||||||
tg x + tg y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
¡ tg x |
¡ |
tg y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg x ctg y = |
tg x + ctg y |
= |
|
|
tg x ¡ ctg y |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ctg x + tg y |
|
¡ctg x |
¡ |
tg y |
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin x sin y sin z = |
[sin(x + y ¡ z) + sin(y + z ¡ x)+ |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||
+ sin(z + x ¡ y) ¡ sin(x + y + z)]; |
|||||||||||||||||
sin x cos y cos z = |
1 |
[sin(x + y ¡ z) ¡ sin(y + z ¡ x)+ |
|||||||||||||||
4 |
62
+ sin(z + x ¡ y) + sin(x + y + z)];
sin x sin y cos z = 14 [¡ cos(x + y ¡ z) + cos(y + z ¡ x)+
+ cos(z + x ¡ y) ¡ cos(x + y + z)]; cos x cos y cos z = 14 [cos(x + y ¡ z) + cos(y + z ¡ x)+
+ cos(z + x ¡ y) + cos(x + y + z)]:
Формулы понижения степени
sin2 x = |
1 ¡ cos 2x |
; |
|
|
cos2 x = |
1 + cos 2x |
; |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin3 x = |
3 sin x ¡ sin 3x |
; |
|
cos3 x = |
3 cos x + cos 3x |
; |
|
||
|
|
4 |
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin4 x = |
cos 4x ¡ 4 cos 2x + 3 |
; |
cos4 x = |
cos 4x + 4 cos 2x + 3 |
: |
||||
|
|
||||||||
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
Обратные функции
arcsin x = ¡ arcsin(¡x) = ¼2 ¡ arccos x = arctg p1 x¡ x2 ; arccos x = ¼ ¡ arccos(¡x) = ¼2 ¡ arcsin x = arcctg p1 x¡ x2 ; arctg x = ¡ arctg(¡x) = ¼2 ¡ arcctg x = arcsin p1 x+ x2 ; arcctg x = ¼ ¡ arcctg(¡x) = ¼2 ¡ arctg x = arccos p1 x+ x2 :
Сумма и разность обратных функций
|
8arcsin |
x |
|
|
y2 |
|
|
y |
|
|
|
|
y2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
³ïðè |
1 ¡ |
|
|
|
|
|
+ |
èëè1 ¡2 |
|
|
|
´2 |
|
|
|
|
1; |
||||||||||||
|
> |
|
|
p xy |
|
· |
0 |
p x |
+ y |
|
· |
|||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
> |
|
arcsin |
x |
|
|
1 y + y |
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
; |
|||||||||||
|
>¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
arcsin x + arcsin y = |
> |
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
> |
|
|
|
|
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|
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||||||||
|
> |
|
|
|
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|
|
|
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|
> |
|
|
ïðè³ |
|
|
|
; y > |
|
|
è |
x |
2 |
|
|
|
y |
2 |
|
´ |
|
|||||||||
|
> |
|
|
|
> |
|
0 |
0 |
|
|
|
+ |
|
|
> |
1; |
||||||||||||||
|
> |
|
|
|
x p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ¡ y2 + y |
|
|
|
|
1 ¡ y2 ; |
|||||||||||||||
|
>¡¼ ¡ arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
> |
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
> |
|
|
ïðè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x < 0; y < 0 |
|
|
|
|
|
> 1; |
|||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
>
>
>
:
63
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
pxy |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
´ |
|
|
1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
¡ arcsin |
|
x |
|
|
|
|
1 ¡ y2 |
¡ y |
|
|
|
1 ¡ y2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
> |
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|
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|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
ïðè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èëè |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
> |
|
|
|
|
|
ïðè³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
0 |
; y < |
0 |
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
y |
|
|
|
> |
1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
< |
|
|
arcsin |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
>¼ |
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin x |
|
|
arcsin y = > |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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:arctg |
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xy |
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> |
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ïðè |
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> |
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arctg x + arctg y = |
>¼ + arctg |
x + y |
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x > 0; xy > 1; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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< |
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¡x + y |
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> |
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¡ |
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> |
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> |
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x |
|
y |
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ïðè |
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||||||||
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|
> |
|
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1 |
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|
|
ïðè |
|
|
x < 0; xy > 1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
>¡¼ + arctg |
|
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xy |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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> |
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¡ |
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|
|
|
|
; |
|
|
|
|
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xy > |
|
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|
1; |
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||||||||||||
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:arctg |
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¡ |
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||||||||||||||||||||
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|
¡ |
8 |
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1 + xy |
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|||||||||||
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|
> |
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> |
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arctg x |
|
arctg y = |
>¼ + arctg |
x + y |
|
|
; ïðè |
|
|
|
x > 0; xy < |
¡ |
1; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
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|
|
xy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
> |
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|||||||||
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> |
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> |
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> |
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|
|
|
> |
¼ + arctg |
|
¡x ¡ y |
; ïðè |
|
|
x < 0; xy < |
|
|
1: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
< |
|
|
|
¡ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
>¡ |
|
|
|
|
|
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1 + xy |
|
|
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||||||||||||||
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|
: |
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|
64
Связь тригонометрических (или обратных тригонометрических) функций
|
a = sin x |
a = cos x |
a = tg x |
a = ctg x |
|||||||||||||||||||||
|
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a |
1 |
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||||||
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|
|
|
a |
§p1 ¡ a2 |
||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
§ |
|
|
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|
§ |
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||||||||||
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
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1 + a2 |
|
1 + a2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a |
||||||
|
§p1 ¡ a2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + a2 |
|
1 + a2 |
|||||||||||||||
|
§p1 ¡ a2 |
§p |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
tg x |
|
|
|
a |
|
|
|
1 ¡ a2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|||||
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||
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||||
|
|
p |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ctg x |
|
1 ¡ a2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
§ |
|
|
|
|
§p |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ¡ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак выбирается в соответствии со знаком левой части. Таблица позволяет найти соотношения как между тригонометрическими, так и между обратными тригонометрическими функциями одного
аргумента. Например, если sin x = a, òî
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x = |
1 ¡ a2 |
(0 |
|
x |
|
|
¼ |
); arcsin a = arctg |
|
a |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
· |
· |
2 |
p1 ¡ a2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
A.2 Гиперболические функции и обратные к ним
Определения
sh x = |
ex ¡ e¡x |
; |
ch x = |
ex + e¡x |
; |
th x = |
sh x |
; |
cth x = |
ch x |
: |
|
|
ch x |
sh x |
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Связь с тригонометрическими функциями
sh z = ¡i sin iz; sin z = ¡i sh iz;
ch z = cos iz; th z = ¡i tg iz; |
cth x = i ctg iz; |
cos z = ch iz; tg z = ¡i th iz; |
ctg z = i cth iz: |
65
Здесь z = x+iy комплексное число, i мнимая единица (i2 = ¡1). Равенства, в которых гиперболические функции f встречаются в форме f(x), èëè f(ax), могут быть получены из аналогичных
соотношений для соответствующих тригонометрических функций, если формально заменить sin x íà i sh x è cos x íà ch x.
Основные тождества
ch2 x ¡ sh2 x = 1; |
th x cth x = 1; |
|
|||
1 |
|
1 |
|
||
1 ¡ th2 x = |
|
; |
cth2 x ¡ 1 = |
|
; |
ch2 x |
sh2 x |
||||
ch x + sh x = ex; |
ch x ¡ sh x = e¡x: |
|
Универсальная гиперболическая подстановка |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Åñëè t = th |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 th(x=2) |
|
2t |
|
|
|
1 + th2(x=2) |
|
|
1 + t2 |
||||||
sh x = |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
ch x = |
|
|
= |
|
|
|
; |
2 |
|
|
|
1 ¡ t |
2 |
2 |
1 ¡ t |
2 |
||||||||
|
1 ¡ th (x=2) |
|
|
|
|
1 ¡ th (x=2) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx = |
2 dt |
|
; |
x = 2 Arth t: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 ¡ t |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции отрицательного аргумента
sh(¡x) = ¡ sh x; ch(¡x) = ch x; th(¡x) = ¡ th x:
Формулы сложения
sh(x § y) = sh x ch y § ch x sh y;
th(x § y) = th x § th y ; 1 § th x th y
ch(x § y) = ch x ch y § sh x sh y;
cth(x § y) = 1 § cth x cth y: cth x § cth y
66
Функции для половинного значения аргумента
sh |
2 = §r |
|
|
|
; |
ch |
2 |
|
= r |
|
|
|
|
|||||
|
ch x2¡ 1 |
|
ch 2+ 1 |
; |
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
th |
x |
= |
|
sh x |
= |
ch x ¡ 1 |
|
= |
|
ch x ¡ 1 |
|
; |
||||||
|
ch x + 1 |
|
§rch x + 1 |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
sh x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cth |
x |
= |
sh x |
= |
ch x + 1 |
= §r |
ch x + 1 |
: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
ch x ¡ 1 |
|
sh x |
ch x ¡ 1 |
Знак выбирается в соответствии со знаком левой части.
Функции кратных аргументов
2 th x sh 2x = 2 sh x ch x = 1 ¡ th2 x;
ch 2x = sh2 x + ch2 x = 2 ch2 x ¡ 1 = 2 sh2 x + 1;
sh 3x = 3 sh x + 4 sh3 x;
sh 4x = 4 sh3 x ch x + 4 ch3 x sh x;
2 th x
1 + th2 x;
ch 3x = ¡3 ch x + 4 ch3 x;
ch 4x = ch4 x + 6 ch2 x sh2 x + sh4 x;
cth 2x = 1 + cth2 x : 2 cth x
Сумма и разность функций
sh x § sh y = 2 sh x § y ch x ¨ y; 2 2
ch x + ch y = 2 ch |
x + y |
ch |
x ¡ y |
; ch x |
¡ |
ch y = 2 sh |
x + y |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|||||
th x |
§ |
th y = |
sh(x § y) |
; |
|
cth x |
§ |
cth y = |
sh(y § x) |
||||
ch x ch y |
|
sh x sh y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sh x ¡2 y;
:
Произведения функций
sh x sh y = 12 [ch(x + y) ¡ ch(x ¡ y)]; ch x ch y = 12 [ch(x ¡ y) + ch(x + y)] ;
67
sh x ch y = 12 [sh(x ¡ y) + sh(x + y)];
sh(x + y) sh(x ¡ y) = ch2 x ¡ ch2 y = sh2 x ¡ sh2 y; ch(x + y) ch(x ¡ y) = sh2 x + ch2 y = ch2 x + sh2 y:
Формула Муавра
(ch x § sh y)n = ch nx § sh nx:
Формулы понижения степени
sh2 x = |
1 |
(ch 2x ¡ 1); |
ch2 x = |
1 |
(ch 2x + 1); |
||
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
Обратные гиперболические функции
y = |
Arsh x (ареасинус); |
åñëè x = sh y; |
y = |
Arch x (ареакосинус); |
åñëè x = ch y; |
y = |
Arth x (ареатангенс); |
åñëè x = th y; |
y = |
Arcth x (ареакотангенс); |
åñëè x = cth y: |
Следует учесть, что y = ch x не во всей области определения мо-
нотонная функция. Поэтому для каждого из двух интервалов монотонности получают свою обратную функцию y = Arch x.
Связь обратных гиперболических функций с логарифмической функцией
y = Arsh x = ln ³x + |
|
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´; |
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x2 + 1 |
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8ln |
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p |
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2 |
¡ 1 |
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äëÿ |
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è |
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|||||
y = Arch x = |
³x ¡ |
|
|
x |
|
´; |
äëÿ x ¸ 1 |
|
¡ 1 < y · 0; |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
è |
|||||||||||||||||||
|
|
³ |
p |
|
¡ |
1 |
|
´ |
x |
¸ |
1 |
|
0 |
· |
y |
· 1 |
||||||||
|
<ln x + px |
|
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; |
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|
+ ; |
|||||||||||||
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: |
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1 |
+ x |
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1 |
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1 |
+ x |
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||||||
y = Arth x = ln r |
|
|
= |
|
ln |
|
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|
ïðè jxj < 1; |
|
|
|
||||||||||||
1 |
¡ x |
2 |
1 |
¡ x |
|
|
|
68
y = Arcth x = ln r |
|
x + 1 |
|
1 x + 1 |
ïðè jxj > 1: |
||||
|
|
= |
|
ln |
|
|
|||
x ¡ 1 |
2 |
x ¡ 1 |
Соотношения между гиперболическими (или обратными гиперболи- ческими) функциями
|
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a = sh x |
|
a = ch x |
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a = th x |
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a = cth x |
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a |
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1 |
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sh x |
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a |
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|
§pa2 ¡ 1 |
§ |
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|
§ |
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p |
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|
p |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 ¡ a2 |
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a2 ¡ 1 |
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ch x |
pa2 + 1 |
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a |
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1 |
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1 |
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a2 |
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a2 |
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1 |
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||||||||||||||||||||||
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|
p |
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|
¡ |
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|
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|
p 1 |
¡ |
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a |
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a2 |
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|
1 |
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||||||||||||||
|
th x |
§ |
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|
§ |
|
p a¡ |
|
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|
p |
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a |
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|
a |
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|||||||||||||||||
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2 |
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|||||||||||||||||||||
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a |
+ 1 |
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2 |
+ 1 |
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a |
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1 |
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a |
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||||||
|
cth x |
§ |
p a |
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|
|
§ |
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||||||||||||
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|
p |
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|
a |
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a |
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|||||||||||||||||||
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a2 ¡ 1 |
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|||
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|
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|
2 |
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2 |
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|
||||||
Åñëè sh x = a, òî cth x = |
paa+ 1 |
(x ¸ 0), Arsh a = Arcth |
paa |
+ 1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знак выбирается в соответствии со знаком левой части. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сумма и разность обратных гиперболических функций |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Arsh x § Arch y = Arsh ³xy § |
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|
´ = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
(1 + x2)(y2 ¡ 1) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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p |
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|||||
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= Arch hy |
p |
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2 |
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§ x |
y |
2 |
¡ 1 i; |
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1 + x |
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p |
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||||||
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1 + y |
2 |
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|
1 + x |
2 |
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|||||||||||||||||
|
Arsh x § Arsh y = Arsh ³x |
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|
§ y |
´; |
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p |
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p |
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Arch x |
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Arch y = Arsh |
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(x |
2 |
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¡ 1)(y |
2 |
¡ 1) |
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; |
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xy § |
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|
§ |
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³x |
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y p |
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|
´ |
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|||||||||||||
|
Arth x + Arth y = Arth |
§ |
; |
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|||||||||||||||||||||||
|
1 § xy |
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|||||||||||||||||||||||||
|
Arcth x |
§ |
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Arcth y = Arcth |
1 § xy |
: |
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|
x |
§ |
y |
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||||||||||
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69
BОбзор методов интегрирования
Âданном приложении приведена сводка основных интегралов и методы их интегрирования c указанием номеров страниц и примеров, в которых подробно разбирается применение этих методов.
Всюду ниже Pn(x), Qm(x) означают полиномы целой степени
относительно x; R[x; u(x); : : : ] рациональную функцию переменных x; u(x); : : : ; u(x) произвольное выражение относительно x.
Предполагается, что квадратные трехчлены, за исключением особо оговоренных случаев, не имеют вещественных корней. Ограничения на области определения приведенных выражений указаны в тексте пособия.
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Z |
g[!(x)]!0(x) dx (ñ. 9). |
|
|
|||
. Подстановка !(x) = t . / |
|
|
|||||
|
15 17, 20 24. |
|
|||||
См. примеры •• |
|
||||||
2. |
Z |
u(x)v0(x) dx |
(ñ. 15). |
|
|
||
. Интегрирование по частям: |
|
|
|||||
|
|
|
Z |
u(x)v0(x) dx = uv ¡ Z |
v(x)u0(x) dx: / |
||
См. примеры •• 29 32. |
Qm(x) правильная рациональная |
||||||
3. |
Z |
|
Qm(x) dx; |
|
ãäå n < m, |
||
|
|
|
Pn(x) |
|
|
Pn(x) |
|
дробь (с. 21).
. Подинтегральную функцию представляют в виде суммы элементарных дробей вида
A |
|
Mx + N |
; (k = 1; 2; : : :): |
|
|
|
|
(x ¡ a)k |
è (x2 + px + q)k |
Интеграл от первой дроби легко сводится к табличному, ко второй применяют методы, изложенные в п.п. 4, 5 данного приложения.
В случае кратных корней полинома Qm(x) для выделения рациональной части интеграла используют формулу Остроградского
70