ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________75
а значит
t |
Λ |
1 t |
4τ+ln |
2 |
(1 |
+ τ))dτ → −∞, |
|
0 |
)dτ = (τ (−2τ+ln(1 + τ) + |
|
|||||
|
2 |
0 |
|
|
|
t→+∞ |
|
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
так как поведение подынтегральной функции при |
t → +∞ определяется пер- |
||||||
вым слагаемым. В соответствии со следствием 3 данная система асимптотически устойчива.
30. Необходимые условия устойчивости и асимптотической устойчивости. Обозначим через X(t) фундаментальную матрицу линейной системы (4) и выпишем известную из курса дифференциальных уравнений формулу Лиувилля
t
det(X(t)) = det(X(0)) exp ∫SpA(τ)dτ,
0
n
где SpA(t) – след матрицы A(t), т.е. SpA(t) = ∑aii (t) .
i=1
Непосредственно из этой формулы при помощи рассуждений от противного вытекают следующие два утверждения.
Теорема 4. Для устойчивости линейной системы (6) необходимо, чтобы
t
интеграл ∫SpA(τ)dτ был ограничен сверху при t ≥ 0 , т.е. должна существо-
0
вать такая константа M, что имеет место неравенство
t |
|
∫SpA(τ)dτ ≤ M |
t ≥ 0 . |
0 |
|
Теорема 5. Для асимптотической устойчивости линейной системы (6) необходимо, чтобы
t |
|
∫ |
SpA(τ)dτ → −∞. |
t→+∞ |
|
0 |
|
З а м е ч а н и е 3. Примеры показывают, что необходимые условия теорем 4 и 5 не являются достаточными.
Пример 4. Рассмотрим линейную нестационарную систему
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________76
|
& |
(1 −cos t) x +e |
−t |
y, |
|
|
|
|||||
|
x = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
2 |
−3 |
|
−2t |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
x − te |
|
y. |
|
|
|
||||
|
t3 +2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
||||||
Для следа |
SpA(t) =1−cost −te−2t |
|
матрицы этой системы имеем |
|
|
|||||||
t |
t |
|
|
|
|
|
|
1 t e−2t + |
1 e−2t − |
1 |
|
|
∫SpA(τ)dτ = ∫(1−cosτ−τe−2τ )dτ = t −sin t + |
→ +∞. |
|||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
4 |
t→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно теореме 4 отсюда следует, что исходная система неустойчива.
Упражнения
1) Исследовать на асимптотическую устойчивость систему
|
& |
|
|
t2 |
ln(1+ t) |
|
|
|
|
2 |
|
x + |
|
y, |
|
x = − |
t |
+2 |
t +1 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
|
|
|
|
y = (arctg t −π) y. |
|
||||||
2) Установить асимптотическую устойчивость системы
x& |
= x ( |
t2 |
+1 − t −1)+ y, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− t |
|
1 |
|
|
& |
|
||||
|
+1 |
− y cos t2 +1 |
; |
|||
y = x t |
||||||
3) Установить асимптотическую устойчивость системы
|
|
& |
|
|
|
|
2t3 |
|
|
|
|
−2t |
|
||||
|
x = −x |
|
|
|
|
|
|
|
+ y e |
|
|
|
sint, |
||||
|
t |
3 |
+ |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
y = x |
|
|
|
|
|
|
|
− y sin |
|
t. |
||||||
|
|
t |
2 |
+2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) Установить неустойчивость системы |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
& |
|
−ln(1 + t)) + y (1 −sint), |
||||||||||||||
x = x (2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
) + y ln(2 + t). |
||||||||
y = x (sint −e |
|
|
|
|
|||||||||||||