Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
X
- •Пример 1. Рассмотрим стандартный полином
- •З а м е ч а н и е 1 (о распределении знаков полиномов h и g). Полиномы h и g имеют следующие знаки:
- •Упражнения
- •С помощью критерия Михайлова исследовать на устойчивость следующие уравнения:
- •§ 8. Теорема Харитонова
- •О п р е д е л е н и е 1. Интервальным полиномом называется множество полиномов вида
- •О п р е д е л е н и е 2. Интервальный полином называется полиномом Гурвица, если все полиномы, образующие его, являются полиномами Гурвица.
- •являлись полиномами Гурвица.
- •□ Необходимость очевидна.
- •Достаточность. Рассмотрим годограф Михайлова
- •для полинома
- •Введем полиномы
- •Тем самым,
- •Анализ доказательства теоремы 1 дает возможность сформулировать следующее утверждение.
- •Упражнения
- •§ 9. Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения
- •Результаты данного параграфа носят вспомогательный характер; они будет использованы далее.
- •Отсюда следует неравенство
- •которое можно переписать в виде
- •Тогда
- •□ Из (3) следует
- •Применяя лемму Гронуолла-Беллмана, получаем
- •Аналогично из (3) вытекает
- •Далее
- •где m > 1 и c – некоторая положительная константа.
- •Тогда имеет место неравенство
- •□ Из неравенства (5) следует
- •Отсюда с учётом (5) получаем
- •Интегрируя полученное неравенство, находим
- •а значит
- •где благодаря (6) выражение, записанное в квадратных скобках, строго положительно. Тогда
- •§ 10. Устойчивость линейных систем с переменной матрицей
- •Теорема 1. Пусть линейная система
- •□ Воспользуемся формулой Коши
- •Отсюда
- •Применяя лемму Гронуолла-Беллмана и используя условие (3), получаем
- •Пример 1. Рассмотрим уравнение
- •Оно эквивалентно системе
- •Характеристическое уравнение для матрицы соответствующей линейной системы имеет вид
- •устойчива. Далее,
- •а значит
- •Поэтому почти линейная система (*) также является устойчивой.
- •В теореме 1 речь шла об устойчивости линейной системы с почти постоянной матрицей. Вопрос об асимптотической устойчивости указанной системы решается в следующем утверждении.
- •Теорема 2. Если линейная однородная система
- •с постоянной матрицей А асимптотически устойчива, то таковой же будет и возмущенная линейная система
- •Запишем формулу Коши для системы (5):
- •Отсюда,
- •Но, как известно [2],
- •где с = с(ε) – некоторая положительная константа. Поэтому
- •Существует T > 0, для которого
- •С учетом полученного, из (**) следует
- •с постоянными матричными коэффициентами Аm,…,А0 асимптотически устойчива, если все корни характеристического уравнения det(λE – Am) = 0 имеют отрицательные вещественные части.
- •□ Полагая
- •исходную систему приводим к виду
- •З а м е ч а н и е 2. Для линейной системы с переменной матрицей А теорема 2, вообще говоря, неверна. Это подтверждает следующий пример.
- •Пример 2. Пусть
- •20. Неравенство Важевского. Это неравенство является полезным инструментом при исследовании устойчивости решений некоторых линейных однородных дифференциальных систем с переменной матрицей.
- •Теорема 3. Для всякого решения линейной системы
- •имеет место неравенство Важевского
- •Поэтому с учётом (*) получаем
- •то система (6) асимптотически устойчива.
- •Пример 3. Исследуем на асимптотическую устойчивость систему
- •Здесь
- •Отсюда
- •а значит
- •30. Необходимые условия устойчивости и асимптотической устойчивости. Обозначим через X(t) фундаментальную матрицу линейной системы (4) и выпишем известную из курса дифференциальных уравнений формулу Лиувилля
- •Непосредственно из этой формулы при помощи рассуждений от противного вытекают следующие два утверждения.
- •Теорема 5. Для асимптотической устойчивости линейной системы (6) необходимо, чтобы
- •З а м е ч а н и е 3. Примеры показывают, что необходимые условия теорем 4 и 5 не являются достаточными.
- •Пример 4. Рассмотрим линейную нестационарную систему
- •Согласно теореме 4 отсюда следует, что исходная система неустойчива.
- •Упражнения
- •1) Исследовать на асимптотическую устойчивость систему
- •2) Установить асимптотическую устойчивость системы
- •3) Установить асимптотическую устойчивость системы
- •4) Установить неустойчивость системы
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ_______________________________________________64
Упражнения
С помощью теоремы Харитонова проверить, является ли интервальный полином {a0 +a1z +a2z2 +a3z3 +a4z4} полиномом Гурвица, если
1)a0 [0.1,1], a1 [5,6], a2 [3.5,7], a3 [2,2.5], a4 [0.7,1];
2)a0 [0.5,2], a1 [3,4], a2 [13,17], a3 [3,4], a4 [1,2] .
§ 9. Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения
Результаты данного параграфа носят вспомогательный характер; они будет использованы далее.
10. |
Лемма Гронуолла-Беллмана. Пусть |
u(t), f(t) C |
[t0 |
,+∞) |
и |
|
u(t) ≥ 0, |
f(t) ≥ 0 |
для всех t ≥ t0 . Тогда если |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
u(t) ≤ c + ∫f(τ)u(τ)dτ |
t ≥ t0 , |
|
|
(1) |
|
|
t0 |
|
|
|
|
при некотором |
c > 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
u(t) ≤ c exp ∫f(τ)dτ |
t ≥ t0 . |
|
|
(2) |
|
|
t0 |
|
|
|
|
t
□ Из (1) благодаря положительности c + ∫f(τ)u(τ)dτ получаем
t0
|
u(t) |
≤1 |
t |
|
c + ∫f(τ)u(τ)dτ
t0
Отсюда следует неравенство
u(t) f(t) |
≤ f(t) |
t |
c + ∫f(τ)u(τ)dτ
t0
которое можно переписать в виде
t ≥ t0 .
t ≥ t0 ,